Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
Aqui, a matéria que estamos usando é equações diferenciais e, mais especificamente, a Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação algébrica resultante para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos com :
Passo 4
Isolando :
Vamos combinar os termos no numerador:
Passo 5
Expandindo e simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador . Completando o quadrado:
Então, o denominador já está factorizado como:
Passo 7
Agora, precisamos simplificar a fração para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Podemos usar frações parciais, mas nesse caso, vamos reconhecer que a solução terá termos exponenciais e senos/cossenos deslocados.
Passo 8
Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Resolvendo para os coeficientes e , e adicionando a solução particular, encontramos: