Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y'' - 2 y' + 2 y = cos(t), y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
Aqui, a matéria que estamos usando é equações diferenciais e, mais especificamente, a Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação algébrica resultante para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos com :

Passo 4

Isolando :
Vamos combinar os termos no numerador:

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador . Completando o quadrado:
Então, o denominador já está factorizado como:

Passo 7

Agora, precisamos simplificar a fração para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Podemos usar frações parciais, mas nesse caso, vamos reconhecer que a solução terá termos exponenciais e senos/cossenos deslocados.

Passo 8

Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Resolvendo para os coeficientes e , e adicionando a solução particular, encontramos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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