Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e) sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que descobrir para quais valores de sumn=0^infty n(x-1)^2n3^2n-1 a série de potências
converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais fácil de trabalhar. Observamos que:
n(x-1)^2n3^2n-1 = n cdot (x-1)^2n3^2n-1 = n cdot ((x-1)^29)^n cdot 3
Isso porque .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série
sum an
converge se
L = limn to infty | an+1an | < 1
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Calculando o limite L = limn to infty | (n+1)((x-1)^29)^n+1 cdot 3n ((x-1)^29)^n cdot 3 | :
L = limn to infty | n+1n cdot (x-1)^29 | = limn to infty | (1 + 1n) cdot (x-1)^29 | = | (x-1)^29 |
Simplificando:
Porque .

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que | (x-1)^29 | < 1 implies (x-1)^29 < 1 implies (x-1)^2 < 9 :
|x - 1| < 3
Resolvendo a inequação quadrática:

Passo 6

Isso significa que:
-3 < x - 1 < 3 implies -3 + 1 < x < 3 + 1 implies -2 < x < 4

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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