Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que descobrir para quais valores de a série de potências
converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais fácil de trabalhar. Observamos que:
Isso porque .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série
converge se
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Calculando o limite :
Simplificando:
Porque .

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo a inequação quadrática:

Passo 6

Isso significa que:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(b)
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(i)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(1)