Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que descobrir para quais valores de
a série de potências
converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais fácil de trabalhar. Observamos que:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série
converge se
Vamos calcular esse limite para nossa série.
Passo 4
Calculando o limite
:
Simplificando:
Porque
.
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que
:
Resolvendo a inequação quadrática:
Passo 6
Isso significa que:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
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(b)
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Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
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(i)
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(1)
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