Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que descobrir para quais valores de
a série de potências
converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais fácil de trabalhar. Observamos que:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série
converge se
Vamos calcular esse limite para nossa série.
Passo 4
Calculando o limite
L = limn to infty | (n+1)((x-1)^29)^n+1 cdot 3n ((x-1)^29)^n cdot 3 | :
Simplificando:
Porque
.
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que
| (x-1)^29 | < 1 implies (x-1)^29 < 1 implies (x-1)^2 < 9 :
Resolvendo a inequação quadrática:
Passo 6
Isso significa que:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.