Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
© sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1) cdot x^2 n+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir o intervalo de convergência de uma série de potências. Isso é basicamente encontrar os valores de para os quais a série dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1) cdot x^2n+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2n)
Essa série tem um padrão nos numeradores e denominadores. Podemos reescrever os produtos de números ímpares e pares de uma forma mais simples usando fatoriais.

Passo 3

Vamos simplificar os produtos no numerador e no denominador:
  • No numerador: sumn=1^infty (2n)!2^n n! cdot x^2n+12^n n! = sumn=1^infty (2n)! cdot x^2n+1(2^n n!)^2 pode ser escrito como
  • No denominador: é igual a
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, para aplicar o Teste da Raz��o, vamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde

Passo 5

Vamos calcular an+1 = (2(n+1))! cdot x^2(n+1)+1(2^n+1 (n+1)!)^2 = (2n+2)! cdot x^2n+32^2n+2 (n+1)!^2 :
an+1an = (2n+2)(2n+1) cdot x^24 (n+1)^2
Agora, calculamos :

Passo 6

Simplificando a expressão:
an+1an = (2n+2)(2n+1) x^24 (n+1)^2 = (2n+2)(2n+1)4(n+1)^2 x^2
Dividindo numerador e denominador por (2 + 2n)(2 + 1n)4(1 + 1n)^2 x^2 :
L = 2 cdot 24 cdot 1 x^2 = x^2
Quando vai para o infinito, os termos e vão a zero, então:

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se x^2 < 1 implies |x| < 1 . Então:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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