Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir o intervalo de convergência de uma série de potências. Isso é basicamente encontrar os valores de para os quais a série dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
Essa série tem um padrão nos numeradores e denominadores. Podemos reescrever os produtos de números ímpares e pares de uma forma mais simples usando fatoriais.
Passo 3
Vamos simplificar os produtos no numerador e no denominador:
No numerador: pode ser escrito como
No denominador: é igual a
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, para aplicar o Teste da Raz��o, vamos calcular o limite:
Onde
Passo 5
Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Passo 6
Simplificando a expressão:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando vai para o infinito, os termos e vão a zero, então:
Passo 7
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se . Então: