Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir o intervalo de convergência de uma série de potências. Isso é basicamente encontrar os valores de para os quais a série dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
Essa série tem um padrão nos numeradores e denominadores. Podemos reescrever os produtos de números ímpares e pares de uma forma mais simples usando fatoriais.

Passo 3

Vamos simplificar os produtos no numerador e no denominador:
  • No numerador: pode ser escrito como
  • No denominador: é igual a
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, para aplicar o Teste da Raz��o, vamos calcular o limite:
Onde

Passo 5

Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando vai para o infinito, os termos e vão a zero, então:

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se . Então:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Numa calculadora aproxima-se o valor de , para todo , pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de em série de Taylor em torno do ponto .
(a) Qual a aproximação de fornecida pela calculadora?
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(a)
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(a) Calcule o valor de , usando (1), para , sabendo que
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(f)