Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente usar a série de Taylor para aproximar o valor de sen(47°), centrando em x₀ = 45°. Vamos usar um polinômio de grau η=2, o que significa que vamos considerar até o segundo termo da série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série de Taylor e como calcular os termos necessários para a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os ângulos de graus para radianos, porque a série de Taylor funciona com radianos. Sabemos que:
Então,
Mas como estamos centrando em 45°, vamos chamar:
Passo 3
A série de Taylor para sen(x) centrada em a é dada por:
Como vamos usar um polinômio de grau 2 (η=2), vamos considerar os termos até o (x - a)^2:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo:
- sin(a):
- cos(a):
- x - a:
- (x - a)^2:
Passo 5
Substituindo os valores na aproximação:
Vamos calcular cada parte:
- 0,7071 × 0,0349 ≈ 0,0247
- (0,7071 / 2) × 0,0012 ≈ 0,0004
Então,
Passo 6
Agora, precisamos determinar o limitante superior do erro. Para a série de Taylor, o erro ao usar o polinômio de grau 2 é dado pelo próximo termo da série:
Onde c está entre a e x. Para f(x) = sen(x), temos:
Como o valor absoluto de cos© é no máximo 1, temos:
Calculando:
Resposta
A aproximação de sen(47°) usando a série de Taylor centrada em 45° com polinômio de grau 2 é 0,7314. O limitante superior do erro dessa aproximação é aproximadamente 0,000007.
Exercícios relacionados
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
(h)
Verifica-se que a série de Taylor da função
em torno de
é:
As somas parciais
podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de
de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de
da calculadora.
© Compare estes dois procedimentos com
Numa calculadora aproxima-se o valor de
, para todo
, pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de
em série de Taylor em torno do ponto
.
(a) Qual a aproximação de fornecida pela calculadora?
(a) Qual a aproximação de
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
©
©