Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen 47 graus, em torno do ponto x0 = 45 graus, com polinômios de grau
(a) eta = 2

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente usar a série de Taylor para aproximar o valor de sen(47°), centrando em x₀ = 45°. Vamos usar um polinômio de grau η=2, o que significa que vamos considerar até o segundo termo da série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série de Taylor e como calcular os termos necessários para a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os ângulos de graus para radianos, porque a série de Taylor funciona com radianos. Sabemos que:
Então,
Mas como estamos centrando em 45°, vamos chamar:

Passo 3

A série de Taylor para sen(x) centrada em a é dada por:
Como vamos usar um polinômio de grau 2 (η=2), vamos considerar os termos até o (x - a)^2:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo:
  • sin(a):
  • cos(a):
  • x - a:
  • (x - a)^2:

Passo 5

Substituindo os valores na aproximação:
Vamos calcular cada parte:
  1. 0,7071 × 0,0349 ≈ 0,0247
  2. (0,7071 / 2) × 0,0012 ≈ 0,0004
Então,

Passo 6

Agora, precisamos determinar o limitante superior do erro. Para a série de Taylor, o erro ao usar o polinômio de grau 2 é dado pelo próximo termo da série:
Onde c está entre a e x. Para f(x) = sen(x), temos:
Como o valor absoluto de cos© é no máximo 1, temos:
Calculando:

Resposta

A aproximação de sen(47°) usando a série de Taylor centrada em 45° com polinômio de grau 2 é 0,7314. O limitante superior do erro dessa aproximação é aproximadamente 0,000007.

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