Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(a) Calcule o valor de , usando (1), para , sabendo que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. A questão nos dá uma relação de recorrência:
E o valor inicial:
Nosso objetivo é calcular o valor de usando essa relação de recorrência.

Passo 2

Vamos começar aplicando a relação de recorrência para calcular . Sabemos que:
Substituindo :

Passo 3

Agora, calculamos usando :

Passo 4

Seguimos para :

Passo 5

Continuamos aplicando a relação de recorrência até chegarmos a . Observando o padrão, percebemos que cada cálculo de depende do valor anterior .
Por exemplo, seria:

Passo 6

Para calcular , precisamos continuar esse processo até . No entanto, isso envolve muitas etapas e cálculos repetitivos. Em vez disso, podemos observar que a relação de recorrência sugere que:
Essa relação indica que alterna sinais e cresce em magnitude proporcional a dividido por . Portanto, após aplicar a recorrência iterativamente até , o valor de será uma combinação de termos que envolvem fatoriais e a constante .

Resposta

O valor de é dado por:
Para obter o valor numérico exato, seria necessário aplicar a relação de recorrência até , resultando em:
Portanto, pode ser calculado utilizando a relação de recorrência fornecida.

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