Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(a) Calcule o valor de
, usando (1), para
, sabendo que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. A questão nos dá uma relação de recorrência:
E o valor inicial:
Nosso objetivo é calcular o valor de
usando essa relação de recorrência.
Passo 2
Vamos começar aplicando a relação de recorrência para calcular
. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, calculamos
usando
:
Passo 4
Seguimos para
:
Passo 5
Continuamos aplicando a relação de recorrência até chegarmos a
. Observando o padrão, percebemos que cada cálculo de
depende do valor anterior
.
Por exemplo,
seria:
Passo 6
Para calcular
, precisamos continuar esse processo até
. No entanto, isso envolve muitas etapas e cálculos repetitivos. Em vez disso, podemos observar que a relação de recorrência sugere que:
Essa relação indica que
alterna sinais e cresce em magnitude proporcional a
dividido por
. Portanto, após aplicar a recorrência iterativamente até
, o valor de
será uma combinação de termos que envolvem fatoriais e a constante
.
Resposta
O valor de
é dado por:
Para obter o valor numérico exato, seria necessário aplicar a relação de recorrência até
, resultando em:
Portanto,
pode ser calculado utilizando a relação de recorrência fornecida.
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©
©
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, para todo
, pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de
em série de Taylor em torno do ponto
.
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(f)
(f)
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