Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série vai somar até um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra básica é:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Nossa série tem a forma geral:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, vamos formar o quociente :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Portanto,
Para que a série convirja, precisamos que :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(a) Calcule o valor de , usando (1), para , sabendo que
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
©
Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(j)