Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série vai somar até um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para determinar se uma série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra básica é:
Se o limite for menor que 1, a série converge.
Se for maior que 1, a série diverge.
Se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Nossa série tem a forma geral:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular e :
Agora, vamos formar o quociente :
Então, o limite fica:
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Portanto,
Para que a série convirja, precisamos que :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.