Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(f) sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1) cdot x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots (2 n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) cdot x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n)
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série vai somar até um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra básica é:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Nossa série tem a forma geral:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) cdot x^n
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos calcular an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) cdot x^n e an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2(n+1)-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2(n+1)) cdot x^n+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n+2) cdot x^n+1 :
an+1an = 1 cdot 3 cdot ldots cdot (2n+1)2 cdot 4 cdot ldots cdot (2n+2) cdot x^n+11 cdot 3 cdot ldots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot ldots cdot (2n) cdot x^n = (2n+1)(2n+2) cdot x
L = limn to infty | (2n+1)(2n+2) cdot x | = |x| cdot limn to infty 2n+12n+2
Agora, vamos formar o quociente :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limn to infty 2n+12n+2 = limn to infty 2 + 1n2 + 2n = 2 + 02 + 0 = 1
Portanto,
L = |x| cdot 1 = |x|
Para que a série convirja, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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