Numa calculadora aproxima-se o valor de e^x, para todo x em [-1, 1], pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de e^x em série de Taylor em torno do ponto x0 = 0.
(a) Qual a aproximação de e^0.5 fornecida pela calculadora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa aproximar o valor de usando o polinômio de Taylor de grau 3. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão de em série de Taylor em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para em torno de 0. A ideia é expandir em uma soma infinita de termos envolvendo potências de . A fórmula geral da série de Taylor para é:
Como queremos um polinômio de grau 3, vamos parar por aí:

Passo 3

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar . Basta substituir na expressão do polinômio:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente para facilitar:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:

Passo 5

Agora, somamos todos esses termos:

Resposta

A aproximação de fornecida pela calculadora é aproximadamente 1,6458.

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