Numa calculadora aproxima-se o valor de
, para todo
, pelo valor do polinômio de Taylor de grau 3, obtido através da expansão de
em série de Taylor em torno do ponto
.
(a) Qual a aproximação de
fornecida pela calculadora?
(a) Qual a aproximação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa aproximar o valor de
usando o polinômio de Taylor de grau 3. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão de
em série de Taylor em torno de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
em torno de 0. A ideia é expandir
em uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. A fórmula geral da série de Taylor para
é:
Como queremos um polinômio de grau 3, vamos parar por aí:
Passo 3
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Basta substituir
na expressão do polinômio:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente para facilitar:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 5
Agora, somamos todos esses termos:
Resposta
A aproximação de
fornecida pela calculadora é aproximadamente 1,6458.