Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso está na área de Análise de Séries, especificamente lidando com séries de potências. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No caso, nosso termo geral é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite for menor que 1.
Passo 4
Vamos calcular esse limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^(n+1)+1 x^n+1(-1)^n+1 x^n | = limn to infty | (-1)^n+2 x^n+1(-1)^n+1 x^n | = limn to infty | -x | = |x|
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Isso significa que o intervalo de convergência é aberto entre -1 e 1.