Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(d) sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso está na área de Análise de Séries, especificamente lidando com séries de potências. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No caso, nosso termo geral é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite for menor que 1.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^(n+1)+1 x^n+1(-1)^n+1 x^n | = limn to infty | (-1)^n+2 x^n+1(-1)^n+1 x^n | = limn to infty | -x | = |x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Isso significa que o intervalo de convergência é aberto entre -1 e 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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