Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(h) sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede pra encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. A matéria envolvida aqui é séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2
Essa é uma série de potências centrada em -5. Queremos descobrir para quais valores de x essa série vai convergir.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo pra séries de potências. Esse teste diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
então:
  • Se an = (x+5)^n-1n^2 , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Nosso é:

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (x+5)^(n+1)-1(n+1)^2 cdot n^2(x+5)^n-1 = (x+5)(1 + 1n)^2 :
L = limn to infty | (x+5)(1 + 1n)^2 | = |x+5|
Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x+5| < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
-1 < x + 5 < 1
Subtraindo 5 de todas as partes:
-6 < x < -4

Passo 6

Agora, precisamos verificar os pontos finais x = -6 e x = -4 para ver se a série converge nesses valores.
  • Para sumn=1^infty (-6+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^2 :
sumn=1^infty (-4+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é uma série alternada que converge, pois os termos diminuem e tendem a zero.
  • Para :
Essa é uma série p com , então também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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