Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(k) sumn=0^infty 2^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que precisa descobrir em qual intervalo ela converge. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Para resolver, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série vai funcionar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o teste da razão. Ele diz que, para uma série , a gente olha para o limite de quando cresce. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste à nossa série:
sumn=0^infty 2^n x^2n(2n)!
Aqui, an+1 = 2^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! = 2 cdot 2^n x^2n + 2(2n + 2)! . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos | an+1an | = | 2 cdot 2^n x^2n + 2 / (2n + 2)!2^n x^2n / (2n)! | = | 2 x^2 (2n + 2)(2n + 1) | :
| 2 x^2(2n + 2)(2n + 1) |
Simplificando:
limn to infty | 2 x^2(2n + 2)(2n + 1) | = 0
Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, o teste da razão nos diz que a série converge para todo valor de .

Resposta

A série converge para todos os valores de . Ou seja, o intervalo de convergência é .

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