Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que precisa descobrir em qual intervalo ela converge. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática. Para resolver, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série vai funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o teste da razão. Ele diz que, para uma série , a gente olha para o limite de quando cresce. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste à nossa série:
Aqui, . Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Simplificando:
Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, o teste da razão nos diz que a série converge para todo valor de .
Resposta
A série converge para todos os valores de . Ou seja, o intervalo de convergência é .