Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(j) sumn=0^infty n!x^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por sumn=0^infty n!x^n. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que a série sum an converge se o limite limn to infty | an+1an | for menor que 1.

Passo 3

No nosso caso, an = n!x^n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)!x^n+1n!x^n = (n+1)x

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty |(n+1)x| = |x| cdot limn to infty (n+1)
Como limn to infty (n+1) = infty, temos:
limn to infty |(n+1)x| = 0, & se x = 0 infty, & se x neq 0

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1. Observamos que isso só acontece quando x = 0. Para qualquer outro valor de x, o limite é infinito, o que significa que a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas x = 0.

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