Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de séries de potências e análise de convergência, que são partes importantes do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série. A função dada é . Para usar séries de potências, é útil ter algo que se assemelhe a uma série geométrica, que é bem fácil de expandir.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Observamos que , então podemos reescrever a função como:

Passo 4

Agora, precisamos expressar como uma série de potências. Sabemos que a série geométrica básica é:
Mas temos no denominador. Podemos usar a derivada da série geométrica para encontrar a série correspondente a .

Passo 5

Vamos definir , então . Assim, podemos escrever:
Nós sabemos que:
Substituindo :

Passo 6

Multiplicando pela que tínhamos antes:

Passo 7

Agora, voltamos à função original :
Podemos simplificar isso multiplicando dentro da soma:

Passo 8

Simplificando os coeficientes:

Passo 9

Podemos reindexar a série para facilitar a compreensão. Deixe , então quando , . Assim:
Isso nos dá a série de potências para .

Passo 10

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como usamos a série geométrica com , a condição de convergência é:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(f)
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(a) Calcule o valor de , usando (1), para , sabendo que
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(j)
Considere
Encontre os intervalos de convergência para .