Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de séries de potências e análise de convergência, que são partes importantes do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série. A função dada é . Para usar séries de potências, é útil ter algo que se assemelhe a uma série geométrica, que é bem fácil de expandir.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Observamos que , então podemos reescrever a função como:
Passo 4
Agora, precisamos expressar como uma série de potências. Sabemos que a série geométrica básica é:
Mas temos no denominador. Podemos usar a derivada da série geométrica para encontrar a série correspondente a .
Passo 5
Vamos definir , então . Assim, podemos escrever:
Nós sabemos que:
Substituindo :
Passo 6
Multiplicando pela que tínhamos antes:
Passo 7
Agora, voltamos à função original :
Podemos simplificar isso multiplicando dentro da soma:
Passo 8
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Podemos reindexar a série para facilitar a compreensão. Deixe , então quando , . Assim:
Isso nos dá a série de potências para .
Passo 10
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Como usamos a série geométrica com , a condição de convergência é: