Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(1) sumn=0^infty raizn x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots (2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências: . O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite . No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular an+1an = raizn+1 , x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdots (2(n+1)+1) times 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n+1)raizn , x^n = raizn+1raizn times x times 12n+3 :
an+1an = x times raizn+1raizn times 12n+3
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | an+1an | = limn to infty | x times raizn+1raizn times 12n+3 | tende ao infinito:
limn to infty |x| times 1 times 12n = 0
Sabemos que para grande, e . Então:

Passo 5

Como o limite é 0, que é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição no valor de para a convergência da série.

Resposta

A série converge para todos os valores de . Então, o intervalo de convergência é .

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