Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências: . O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite . No nosso caso, .
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que para grande, e . Então:
Passo 5
Como o limite é 0, que é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição no valor de para a convergência da série.
Resposta
A série converge para todos os valores de . Então, o intervalo de convergência é .