Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências: . O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se o limite . No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que para grande, e . Então:

Passo 5

Como o limite é 0, que é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição no valor de para a convergência da série.

Resposta

A série converge para todos os valores de . Então, o intervalo de convergência é .

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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.