Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com potências de . Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta útil para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz, que nos diz que uma série converge se:
E diverge se o limite for maior que 1. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, temos:
Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Quando cresce para o infinito, tende a 0, então:
Portanto:
Passo 4
Voltando ao limite do Teste da Raiz:
Para que a série convirja, precisamos que:
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Como a potência 4 é par, podemos tirar a raiz quarta de ambos os lados: