Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com potências de . Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta útil para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz, que nos diz que uma série converge se:
E diverge se o limite for maior que 1. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, temos:
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Quando cresce para o infinito, tende a 0, então:
Portanto:

Passo 4

Voltando ao limite do Teste da Raiz:
Para que a série convirja, precisamos que:

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
Como a potência 4 é par, podemos tirar a raiz quarta de ambos os lados:
Isso significa que:
Adicionando 3 em todos os lados:

Resposta

O intervalo de convergência da série é:

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(1)
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(i)
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Determine a área da região , onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas e .