Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(o) sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4nn^1 / n
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com potências de (x - 3). Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta útil para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz, que nos diz que uma série sum an converge se:
limn to infty raiz[n]|an| < 1
E diverge se o limite for maior que 1. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, temos:
an = (-1)^n+1(x-3)^4nn^1/n
Vamos calcular raiz[n]|an|:
raiz[n]|an| = raiz[n]|(-1)^n+1(x-3)^4nn^1/n| = |x-3|^4raiz[n]n^1/n

Passo 3

Agora, vamos simplificar raiz[n]n^1/n. Sabemos que:
n^1/n = e^ln nn
Quando n cresce para o infinito, ln nn tende a 0, então:
limn to infty n^1/n = e^0 = 1
Portanto:
limn to infty raiz[n]n^1/n = 1

Passo 4

Voltando ao limite do Teste da Raiz:
limn to infty raiz[n]|an| = |x-3|^4
Para que a série convirja, precisamos que:
|x-3|^4 < 1

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
|x-3|^4 < 1
Como a potência 4 é par, podemos tirar a raiz quarta de ambos os lados:
|x-3| < 1
Isso significa que:
-1 < x - 3 < 1
Adicionando 3 em todos os lados:
2 < x < 4

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
2 < x < 4

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