Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os intervalos de convergência para a função , assim como para suas primeiras e segundas derivadas, ou seja, e . Aqui, estamos lidando com séries de potências, então vamos precisar usar conceitos de convergência de séries e derivação termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o intervalo de convergência da função . Para isso, usamos o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert), que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências.
Aplicando o Teste da Razão:
Onde L = limn to infty | x cdot n^2(n+1)^2 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x| cdot 1 = |x| . Então,
|x| < 1
Calculando o limite:
Para a série convergir, precisamos que :
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência potencial é . Agora, vamos verificar os pontos finais e .
Essa é a famosa série , conhecida por convergir (a soma é ). Portanto, está incluído no intervalo de convergência.
Verificando :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada e, além disso, os termos tendem a zero e são decrescentes. Pelo Teste da Série Alternada, essa série também converge. Portanto, também está incluído no intervalo de convergência.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência para a primeira derivada f'(x) = sumn=1^infty ddx ( x^nn^2 ) = sumn=1^infty n x^n-1n^2 = sumn=1^infty x^n-1n . Primeiro, derivamos a série termo a termo:
f'(x) = sumn=0^infty x^nn+1
Podemos reescrever a série iniciando em an = x^nn+1, an+1an = x^n+1/(n+2)x^n/(n+1) = |x| cdot n+1n+2 :
L = limn to infty |x| cdot n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x|
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos novamente o Teste da Razão:
f'(1) = sumn=1^infty 1n
Calculando o limite:
f'(-1) = sumn=1^infty (-1)^nn
Para convergência, . Agora, vamos verificar os pontos finais.
Verificando :
Essa é a série harmônica, que diverge. Portanto, não está incluído.
Verificando :
Essa é a série alternada da série harmônica, que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada. Portanto, está incluído.
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar o intervalo de convergência para a segunda derivada f''(x) = sumn=1^infty ddx ( x^n-1n ) = sumn=1^infty (n-1) x^n-2n . Derivamos f''(x) = sumn=2^infty (n-1) x^n-2n = sumn=0^infty (n+1) x^nn+2 termo a termo:
an = (n+1) x^nn+2, an+1an = |x| cdot n+2n+3
Podemos simplificar mudando o índice para começar em L = limn to infty |x| cdot n+2n+3 = |x| cdot 1 = |x| :
Para convergência, . Verificamos os pontos finais:
Verificando :
Essa série se decompõe em duas séries: que diverge e que também diverge. Portanto, não está incluído.
Verificando :
Simplificando, ainda temos uma série alternada, e os termos tendem a 1, o que não satisfaz o Teste da Série Alternada (os termos precisam tender a zero). Portanto, não está incluído.