Considere
Encontre os intervalos de convergência para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os intervalos de convergência para a função , assim como para suas primeiras e segundas derivadas, ou seja, e . Aqui, estamos lidando com séries de potências, então vamos precisar usar conceitos de convergência de séries e derivação termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o intervalo de convergência da função . Para isso, usamos o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert), que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências.
Aplicando o Teste da Razão:
Onde . Então,
Calculando o limite:
Para a série convergir, precisamos que :
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência potencial é . Agora, vamos verificar os pontos finais e .

Passo 3

Verificando :
Substituindo na série:
Essa é a famosa série , conhecida por convergir (a soma é ). Portanto, está incluído no intervalo de convergência.
Verificando :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada e, além disso, os termos tendem a zero e são decrescentes. Pelo Teste da Série Alternada, essa série também converge. Portanto, também está incluído no intervalo de convergência.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência para a primeira derivada . Primeiro, derivamos a série termo a termo:
Podemos reescrever a série iniciando em :
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos novamente o Teste da Razão:
Calculando o limite:
Para convergência, . Agora, vamos verificar os pontos finais.
Verificando :
Essa é a série harmônica, que diverge. Portanto, não está incluído.
Verificando :
Essa é a série alternada da série harmônica, que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada. Portanto, está incluído.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o intervalo de convergência para a segunda derivada . Derivamos termo a termo:
Podemos simplificar mudando o índice para começar em :
Aplicando o Teste da Razão novamente:
Calculando o limite:
Para convergência, . Verificamos os pontos finais:
Verificando :
Essa série se decompõe em duas séries: que diverge e que também diverge. Portanto, não está incluído.
Verificando :
Simplificando, ainda temos uma série alternada, e os termos tendem a 1, o que não satisfaz o Teste da Série Alternada (os termos precisam tender a zero). Portanto, não está incluído.

Resposta

  • O intervalo de convergência para é .
  • O intervalo de convergência para é .
  • O intervalo de convergência para é .

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