Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai somar um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que o termo geral da série é:
O Teste da Razão diz que se:
E:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Calculando o limite:
Portanto, temos:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série converger, precisamos que :
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 1.

Passo 6

Vamos resolver a inequação :
Subtraindo 3 de todas as partes:
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Considere
Encontre os intervalos de convergência para .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(j)
Considere a série Harmônica dada por . Mostra-se que e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos , usando o algoritmo: e , obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(b) Calcule o valor de , usando , para , utilizando a aproximação .