Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai somar um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que o termo geral da série é:
O Teste da Razão diz que se:
E:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 4
Calculando o limite:
Portanto, temos:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série converger, precisamos que :
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 1.
Passo 6
Vamos resolver a inequação :
Subtraindo 3 de todas as partes:
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):