Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m) sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai somar um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que o termo geral da série é:
an = (3 - x)^n-1raizn
O Teste da Razão diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
E:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (3 - x)^(n+1)-1raizn+1(3 - x)^n-1raizn = (3 - x)^n(3 - x)^n-1 cdot raiznraizn+1 = (3 - x) cdot raiznn+1 :
L = limn to infty | (3 - x) cdot raiznn+1 | = |3 - x| cdot limn to infty raiznn+1
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Calculando o limite:
limn to infty raiznn+1 = limn to infty raiz11 + 1n = raiz1 = 1
Portanto, temos:
L = |3 - x| cdot 1 = |3 - x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série converger, precisamos que |3 - x| < 1 :
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 1.

Passo 6

Vamos resolver a inequação -1 < 3 - x < 1 :
-4 < -x < -2
Subtraindo 3 de todas as partes:
2 < x < 4
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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