Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2n^2.

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências para analisar:
sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3n-2n^2
O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta muito útil para determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = (5^n+5^-n)(x+1)^3n-2n^2 :
an+1 = (5^n+1+5^-(n+1))(x+1)^3(n+1)-2(n+1)^2
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, montamos a razão an+1an = (5^n+1+5^-(n+1))(x+1)^3(n+1)-2(n+1)^2 cdot n^2(5^n+5^-n)(x+1)^3n-2 :
= 5^n+1+5^-(n+1)5^n+5^-n cdot (x+1)^3 cdot ( nn+1 )^2
Simplificando os termos de potências:

Passo 5

Vamos agora calcular o limite L = limn to infty | 5^n+1+5^-(n+1)5^n+5^-n cdot (x+1)^3 cdot ( nn+1 )^2 | :
approx limn to infty | 5^n+15^n cdot (x+1)^3 cdot 1 | = limn to infty | 5 cdot (x+1)^3 | = 5 |(x+1)^3|
Observamos que, para grande, domina e domina . Então, simplificamos:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que 5 |(x+1)^3| < 1 :
|(x+1)^3| < 15
Resolvendo a desigualdade:
|x+1| < (15)^1/3 = 1raiz[3]5
Tomando a raiz cúbica dos dois lados:

Passo 7

Portanto, o intervalo de convergência é determinado por:
- 1raiz[3]5 < x + 1 < 1raiz[3]5
Subtraindo 1 de todos os lados:
-1 - 1raiz[3]5 < x < -1 + 1raiz[3]5

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
-1 - 1raiz[3]5 < x < -1 + 1raiz[3]5

Exercícios relacionados