Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® .

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências para analisar:
O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta muito útil para determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral :
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, montamos a razão :
Simplificando os termos de potências:

Passo 5

Vamos agora calcular o limite :
Observamos que, para grande, domina e domina . Então, simplificamos:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:
Tomando a raiz cúbica dos dois lados:

Passo 7

Portanto, o intervalo de convergência é determinado por:
Subtraindo 1 de todos os lados:

Resposta

O intervalo de convergência da série é:

Exercícios relacionados

Considere um computador de 14 bits com expoente máximo (15) e a representação em aritmética flutuante na base 2 .
(d) Determine o menor valor de tal que .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(k)
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(b)
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que , compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.