Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências para analisar:
O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta muito útil para determinar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral :
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, montamos a razão :
Simplificando os termos de potências:
Passo 5
Vamos agora calcular o limite :
Observamos que, para grande, domina e domina . Então, simplificamos:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo a desigualdade:
Tomando a raiz cúbica dos dois lados:
Passo 7
Portanto, o intervalo de convergência é determinado por: