Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências para analisar:
O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta muito útil para determinar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral an = (5^n+5^-n)(x+1)^3n-2n^2 :
an+1 = (5^n+1+5^-(n+1))(x+1)^3(n+1)-2(n+1)^2
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, montamos a razão an+1an = (5^n+1+5^-(n+1))(x+1)^3(n+1)-2(n+1)^2 cdot n^2(5^n+5^-n)(x+1)^3n-2 :