Considere um computador de 14 bits com expoente máximo
(15) e a representação em aritmética flutuante na base 2 .
(d) Determine o menor valor de
tal que
.
(d) Determine o menor valor de
Passo 1
O enunciado fala sobre computadores que usam aritmética de ponto flutuante, ou seja, números representados em formato binário com um expoente. Aqui, temos um computador que usa 14 bits para representar esses números, com um expoente máximo de 15. O objetivo é encontrar o menor valor de
tal que, quando somado a 12,37, o resultado seja maior que 12,37. Vamos precisar entender como os números são representados nesse sistema para encontrar esse
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como os números são representados em aritmética de ponto flutuante. Normalmente, isso envolve um bit para o sinal, alguns bits para o expoente e o restante para a mantissa (a parte fracionária). Com 14 bits e um expoente máximo de 15, vamos supor que temos 1 bit para o sinal, 5 bits para o expoente (já que
, o que cobre o expoente máximo 15) e 8 bits para a mantissa.
Passo 3
Em aritmética de ponto flutuante, a precisão está relacionada à mantissa. O menor valor que podemos adicionar a um número como 12,37 para alterar seu valor depende da precisão da mantissa. Quanto mais bits na mantissa, menor será esse valor. Com 8 bits na mantissa, a precisão é de
.
Passo 4
No entanto, para encontrar o menor
que faz com que
, precisamos considerar o arredondamento e a representação binária exata de 12,37. Mas uma boa aproximação aqui é usar a precisão da mantissa. Assim, o menor
será aproximadamente igual à precisão da mantissa multiplicada pelo valor do número.
Passo 5
Calculando isso:
. Mas precisamos considerar que estamos buscando o menor
que afeta o valor, então ajustamos para o mínimo incremento na mantissa.
Passo 6
A precisão real após o ponto pode ser menor. De fato, o menor
que altera o número seria exatamente
, já que é o menor passo que a mantissa pode representar.
Resposta
O menor valor de
tal que
é
.
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, com polinômios de grau
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