Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série vai somar a um valor finito, ou seja, vai “convergir”. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do teste. Observe que pode ser reescrito como . Então, a série fica:
Podemos fatorar fora da soma:
Mas para aplicar o Teste da Razão, vamos manter a série original .
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty |x+5| cdot (nn+1)^2 :
L = |x+5| cdot 1 = |x+5|
Sabemos que , então:
Passo 5
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x+5| < 1 :
Isso significa que a distância entre e deve ser menor que 1.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade -1 < x + 5 < 1 :
-6 < x < -4
Subtraindo 5 de todas as partes:
Passo 7
Precisamos verificar as extremidades sumn=1^infty (-6+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^2 e sumn=1^infty (-4+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty 1^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2 para saber se elas fazem parte do intervalo de convergência.
Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada.