Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série vai somar a um valor finito, ou seja, vai “convergir”. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do teste. Observe que sumn=1^infty (x+5)^nn^2 cdot (x+5) pode ser reescrito como 1x+5 sumn=1^infty (x+5)^nn^2 . Então, a série fica:
Podemos fatorar fora da soma:
Mas para aplicar o Teste da Razão, vamos manter a série original .

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = (x+5)^n(n+1)^2(x+5)^n-1n^2 = (x+5)^n cdot n^2(x+5)^n-1 cdot (n+1)^2 = (x+5) cdot (nn+1)^2 . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty |x+5| cdot (nn+1)^2 :
L = |x+5| cdot 1 = |x+5|
Sabemos que , então:

Passo 5

Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x+5| < 1 :
Isso significa que a distância entre e deve ser menor que 1.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade -1 < x + 5 < 1 :
-6 < x < -4
Subtraindo 5 de todas as partes:

Passo 7

Precisamos verificar as extremidades sumn=1^infty (-6+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^2 e sumn=1^infty (-4+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty 1^n-1n^2 = sumn=1^infty 1n^2 para saber se elas fazem parte do intervalo de convergência.
Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste da Série Alternada.
Para :
Essa é a série p com , que também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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