Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo de convergência dessa série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, para quais a série soma até um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar esse intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta que nos permite determinar se uma série converge ou não, analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série.
A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3 da nossa série:
an+1 = (-1)^n+1 2^n+1 x^n+1(n+2)^3
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos a razão entre | an+1an | = | (-1)^n+1 2^n+1 x^n+1(n+2)^3 cdot (n+1)^3(-1)^n 2^n x^n | e = | -1 cdot 2 cdot x cdot (n+1)^3(n+2)^3 | :
Simplificando os termos:
= 2 |x| (n+1)^3(n+2)^3
Como estamos lidando com valores absolutos, o sinal negativo desaparece:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 2 |x| (n+1)^3(n+2)^3 tende ao infinito:
L = 2 |x| limn to infty ( n+1n+2 )^3
Percebemos que os termos limn to infty n+1n+2 = 1 e L = 2 |x| cdot 1^3 = 2 |x| dominam o comportamento do limite. Podemos simplificar dividindo cada termo pelo maior expoente:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que 2 |x| < 1 :
|x| < 12
Resolvendo para :
Isso significa que a série converge para valores de cuja distância até zero é menor que .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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