Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo de convergência dessa série de potências:
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, para quais a série soma até um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar esse intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta que nos permite determinar se uma série converge ou não, analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série.
A fórmula do Teste da Razão é:
Onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos a razão entre e :
Simplificando os termos:
Como estamos lidando com valores absolutos, o sinal negativo desaparece:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Percebemos que os termos e dominam o comportamento do limite. Podemos simplificar dividindo cada termo pelo maior expoente:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo para :
Isso significa que a série converge para valores de cuja distância até zero é menor que .