Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções:
e
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa preencher uma tabela com valores de derivadas de certas funções avaliadas em zero. As funções que temos são:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e séries de Taylor para achar essas derivadas nas ordens indicadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto zero (
) está relacionada ao termo de
na expansão em série de Taylor da função. Ou seja, para achar
, a gente precisa identificar o coeficiente de
na série de Taylor da função e multiplicar por
.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Multiplicando por
, temos:
Então, os termos na série de
são de potências pares de
.
Passo 4
Olha só, isso significa que se a ordem da derivada for ímpar, a derivada no zero será zero, porque não tem termo com potências ímpares na série de
. Portanto:
-
(15 é ímpar) -
precisamos calcular
Passo 5
Para achar
, vamos identificar o termo de
na série de
.
Na expressão:
Queremos
→
Então, o coeficiente é
Multiplicando pelo
:
Passo 6
Agora vamos para
. A série de Taylor para
é:
Aqui,
, então:
Isso mostra que os termos na série são múltiplos de 4.
Passo 7
Queremos
. Vamos encontrar o termo de
:
Na série:
Queremos
→
O coeficiente é
Multiplicando por
:
Calculando:
Passo 8
Vamos para
. A série de Taylor para
é:
Aqui,
, então:
Essa série contém somente termos com potências pares de
.
Passo 9
Queremos
. Vamos identificar o termo de
:
Na série:
Queremos
→
O coeficiente é
Multiplicando pelo
:
Simplificando:
Passo 10
Por último, temos
. A série de Taylor para
é:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Queremos
. Vamos achar o termo de
:
Na série:
Queremos
→
O coeficiente é
Multiplicando por
:
Resposta
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0 | -28 | 51975 | -243290200817664000 | 51891840 |
Exercícios relacionados
Determine uma série de potências de
para a função
e uma série de potências de
para
.
Dados
e
e
determinar:
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.