Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa preencher uma tabela com valores de derivadas de certas funções avaliadas em zero. As funções que temos são:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e séries de Taylor para achar essas derivadas nas ordens indicadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto zero ( ) está relacionada ao termo de na expansão em série de Taylor da função. Ou seja, para achar , a gente precisa identificar o coeficiente de na série de Taylor da função e multiplicar por .

Passo 3

Vamos começar com a função . Sabemos que a série de Taylor para é:
Multiplicando por , temos:
Então, os termos na série de são de potências pares de .

Passo 4

Olha só, isso significa que se a ordem da derivada for ímpar, a derivada no zero será zero, porque não tem termo com potências ímpares na série de . Portanto:
  • (15 é ímpar)
  • precisamos calcular

Passo 5

Para achar , vamos identificar o termo de na série de .
Na expressão:
Queremos
Então, o coeficiente é
Multiplicando pelo :

Passo 6

Agora vamos para . A série de Taylor para é:
Aqui, , então:
Isso mostra que os termos na série são múltiplos de 4.

Passo 7

Queremos . Vamos encontrar o termo de :
Na série:
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando por :
Calculando:

Passo 8

Vamos para . A série de Taylor para é:
Aqui, , então:
Essa série contém somente termos com potências pares de .

Passo 9

Queremos . Vamos identificar o termo de :
Na série:
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando pelo :
Simplificando:

Passo 10

Por último, temos . A série de Taylor para é:
Integrando termo a termo:

Passo 11

Queremos . Vamos achar o termo de :
Na série:
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando por :

Resposta

0 -28 51975 -243290200817664000 51891840

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Determine uma série de potências de para a função e uma série de potências de para .
Dados
e
determinar:
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.