Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções: f(x)=x sen x, g(x)=cos (x^2), h(x)=ln (1+x^2) e p(x)=integral0^x e^-t^2 d t.
f^(15)(0) f^(28)(0) g^(16)(0) h^(20)(0) p^(17)(0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa preencher uma tabela com valores de derivadas de certas funções avaliadas em zero. As funções que temos são:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas e séries de Taylor para achar essas derivadas nas ordens indicadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto zero ( ) está relacionada ao termo de na expansão em série de Taylor da função. Ou seja, para achar , a gente precisa identificar o coeficiente de na série de Taylor da função e multiplicar por .

Passo 3

Vamos começar com a função sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)! . Sabemos que a série de Taylor para f(x) = x sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+2(2k+1)! é:
Multiplicando por , temos:
Então, os termos na série de são de potências pares de .

Passo 4

Olha só, isso significa que se a ordem da derivada for ímpar, a derivada no zero será zero, porque não tem termo com potências ímpares na série de . Portanto:
  • (15 é ímpar)
  • precisamos calcular

Passo 5

Para achar f(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+2(2k+1)! , vamos identificar o termo de f^(28)(0) = 28! times ( -127! ) = -28 na série de .
Na expressão:
Queremos
Então, o coeficiente é
Multiplicando pelo :

Passo 6

Agora vamos para cos u = sumk=0^infty (-1)^k u^2k(2k)! . A série de Taylor para g(x) = cos(x^2) = sumk=0^infty (-1)^k x^4k(2k)! é:
Aqui, , então:
Isso mostra que os termos na série são múltiplos de 4.

Passo 7

Queremos g(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^4k(2k)! . Vamos encontrar o termo de g^(16)(0) = 16! times 140320 = 16!40320 :
Na série:
16!40320 = 2092278988800040320 = 51975
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando por :
Calculando:

Passo 8

Vamos para ln(1 + u) = sumk=1^infty (-1)^k+1 u^kk . A série de Taylor para h(x) = ln(1 + x^2) = sumk=1^infty (-1)^k+1 x^2kk é:
Aqui, , então:
Essa série contém somente termos com potências pares de .

Passo 9

Queremos h(x) = sumk=1^infty (-1)^k+1 x^2kk . Vamos identificar o termo de h^(20)(0) = 20! times ( -110 ) = -20!10 :
Na série:
-20!10 = -2 times 19! = -2 times 121645100408832000 = -243290200817664000
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando pelo :
Simplificando:

Passo 10

Por último, temos e^-t^2 = sumk=0^infty (-1)^k t^2kk! . A série de Taylor para p(x) = integral0^x sumk=0^infty (-1)^k t^2kk! dt = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)k! é:
Integrando termo a termo:

Passo 11

Queremos p(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)k! . Vamos achar o termo de p^(17)(0) = 17! times 1685440 = 355687428096000685440 = 51891840 :
Na série:
Queremos
O coeficiente é
Multiplicando por :

Resposta

f^(15)(0) f^(28)(0) g^(16)(0) h^(20)(0) p^(17)(0)
0 -28 51975 -243290200817664000 51891840

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