Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências específica:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma
, calculamos o limite:
Se
, a série converge. Se
, a série diverge. E se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da nossa série:
Queremos encontrar
an+1an = raizn+11 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +3) cdot 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +1)raizn :
Simplificando, percebemos que muitos termos se cancelam:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty raizn+1raizn cdot 12n +3 tende ao infinito:
Vamos simplificar cada parte:
-
que tende a 1 quando vai para o infinito. -
tende a 0 quando vai para o infinito.
Portanto:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, se
0 cdot |x| = 0 < 1 , a série converge. No nosso caso,
, então:
Isso significa que a série converge para qualquer valor real de
.
Resposta
O intervalo de convergência da série é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.