Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências específica:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma , calculamos o limite:
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa série:
Queremos encontrar :
Simplificando, percebemos que muitos termos se cancelam:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Vamos simplificar cada parte:
  1. que tende a 1 quando vai para o infinito.
  2. tende a 0 quando vai para o infinito.
Portanto:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para qualquer valor real de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.