Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty raizn x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots (2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências específica:
sumn=0^infty raizn , x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +1)
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma L = limn to infty | an+1an |, calculamos o limite:
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa série:
an = raizn1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +1)
Queremos encontrar an+1an = raizn+11 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +3) cdot 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n +1)raizn:
an+1an = raizn+1raizn cdot 12n +3
Simplificando, percebemos que muitos termos se cancelam:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | an+1an | = limn to infty raizn+1raizn cdot 12n +3 tende ao infinito:
L = 1 cdot 0 = 0
Vamos simplificar cada parte:
  1. que tende a 1 quando vai para o infinito.
  2. tende a 0 quando vai para o infinito.
Portanto:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se 0 cdot |x| = 0 < 1, a série converge. No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para qualquer valor real de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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