Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. A matéria que estamos lidando aqui é Séries de Potências, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão. Esse teste vai nos ajudar a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
Onde são os coeficientes e é a variável. Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais essa soma “não explode” e se aproxima de um número finito, ou seja, converge.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Dada a série:
Vamos chamar o termo geral de :
Agora, calculamos :
Vamos simplificar :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite para o teste da razão:
Simplificando o limite:
Então:
Aplicando o teste da razão:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções: e .
Determine uma série de potências de para a função e uma série de potências de para .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.