Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1) cdot x^2 n+12 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências. A matéria que estamos lidando aqui é Séries de Potências, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão. Esse teste vai nos ajudar a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
sumn=0^infty an x^n
Onde são os coeficientes e é a variável. Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais essa soma “não explode” e se aproxima de um número finito, ou seja, converge.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , se
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Dada a série:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) cdot x^2n+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n)
Vamos chamar o termo geral de an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) cdot x^2n+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n) :
an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2(n+1)-1) cdot x^2(n+1)+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2(n+1))
Agora, calculamos an+1an = (2n+1) x^2n+3(2n+2) cdot 2nx^2n+1 = (2n+1)(2n+2) cdot x^2 :
Vamos simplificar :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite para o teste da razão:
L = limn to infty | (2n+1)(2n+2) cdot x^2 | = limn to infty | 2n+12n+2 | cdot |x|^2
Simplificando o limite:
limn to infty 2n+12n+2 = 2n2n = 1
Então:
L = 1 cdot |x|^2 = |x|^2
Aplicando o teste da razão:
|x|^2 < 1 Rightarrow |x| < 1

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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