Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e nosso objetivo é descobrir para quais valores de a série converge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas úteis para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do teste de convergência. Observe que sumn=1^infty (3 - x)^nraizn cdot 13 - x pode ser reescrito como sumn=1^infty (3 - x)^nraizn , mas como é uma constante em relação a , podemos focar no termo .
Então, a série fica:
Para simplificar ainda mais, vamos considerar a série:
E depois, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar a convergência dessa série.

Passo 3

O Teste da Razão afirma que para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
an+1an = (3 - x)^n+1 / raizn+1(3 - x)^n / raizn = (3 - x) cdot raiznraizn+1
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, .
Então, calculamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (3 - x) cdot raiznraizn+1 | = |3 - x| cdot limn to infty raiznraizn+1 = |3 - x| cdot 1 = |3 - x| :
Então, o limite .

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se |3 - x| < 1 . Portanto:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de .

Passo 6

A desigualdade -1 < 3 - x < 1 significa que a distância entre -1 < 3 - x implies x < 4 e 3 é menor que 1. Isso se traduz em:
3 - x < 1 implies x > 2
Resolvendo para :
Portanto, .

Passo 7

Precisamos verificar os endpoints sumn=1^infty (3-2)^n-1raizn = sumn=1^infty 1^n-1raizn = sumn=1^infty 1raizn e sumn=1^infty (3-4)^n-1raizn = sumn=1^infty (-1)^n-1raizn para determinar se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série p com , que diverge porque .
Para :
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge condicionalmente.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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