Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e nosso objetivo é descobrir para quais valores de a série converge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são ferramentas úteis para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a aplicação do teste de convergência. Observe que pode ser reescrito como , mas como é uma constante em relação a , podemos focar no termo .
Então, a série fica:
Para simplificar ainda mais, vamos considerar a série:
E depois, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar a convergência dessa série.
Passo 3
O Teste da Razão afirma que para uma série , se o limite:
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, .
Então, calculamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (3 - x) cdot raiznraizn+1 | = |3 - x| cdot limn to infty raiznraizn+1 = |3 - x| cdot 1 = |3 - x| :
Então, o limite .
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se |3 - x| < 1 . Portanto:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de .
Passo 6
A desigualdade -1 < 3 - x < 1 significa que a distância entre -1 < 3 - x implies x < 4 e 3 é menor que 1. Isso se traduz em:
3 - x < 1 implies x > 2
Resolvendo para :
Portanto, .
Passo 7
Precisamos verificar os endpoints sumn=1^infty (3-2)^n-1raizn = sumn=1^infty 1^n-1raizn = sumn=1^infty 1raizn e sumn=1^infty (3-4)^n-1raizn = sumn=1^infty (-1)^n-1raizn para determinar se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série p com , que diverge porque .
Para :
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge condicionalmente.