Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
11-4 x

Passo 1

Neste exercício, vamos representar a função 11-4x como uma série de potências em x. Para isso, vamos usar a fórmula básica das séries geométricas: 11-x = sumn=0^infty x^n, que é válida para |x| < 1. Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e determinar o raio e o intervalo de convergência da nova série.

Passo 2

Primeiro, observe que nossa função 11-4x tem uma forma semelhante à fórmula básica, com x substituído por 4x. Podemos usar essa substituição para adaptar a série geométrica.

Passo 3

Substituindo x por 4x na fórmula original, temos:
11-4x = sumn=0^infty (4x)^n = sumn=0^infty 4^n x^n

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. A série geométrica sumn=0^infty r^n converge quando |r| < 1. No nosso caso, r = 4x, então a condição de convergência é:
|4x| < 1 Rightarrow |x| < 14
Portanto, o raio de convergência é R = 14.

Resposta

A série de potências que representa 11-4x é sumn=0^infty 4^n x^n, com raio de convergência R = 14 e intervalo de convergência |x| < 14.

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