Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Neste exercício, vamos representar a função
como uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a fórmula básica das séries geométricas:
, que é válida para
. Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e determinar o raio e o intervalo de convergência da nova série.
Passo 2
Primeiro, observe que nossa função
tem uma forma semelhante à fórmula básica, com
substituído por
. Podemos usar essa substituição para adaptar a série geométrica.
Passo 3
Substituindo
por
na fórmula original, temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. A série geométrica
converge quando
. No nosso caso,
, então a condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A série de potências que representa
é
, com raio de convergência
e intervalo de convergência
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
No intervalo
, mostre que: