Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Neste exercício, vamos representar a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula básica das séries geométricas: , que é válida para . Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e determinar o raio e o intervalo de convergência da nova série.

Passo 2

Primeiro, observe que nossa função tem uma forma semelhante à fórmula básica, com substituído por . Podemos usar essa substituição para adaptar a série geométrica.

Passo 3

Substituindo por na fórmula original, temos:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. A série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de potências que representa é , com raio de convergência e intervalo de convergência .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
No intervalo , mostre que: