Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2n^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3n-2n^2
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões matemáticas que envolvem somas infinitas de termos com potências de uma variável. Para encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica comum para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. O termo geral an = 5^n + 5^-nn^2 (x+1)^3n-2 é dado por:
L = limn to infty | an+1an |
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1 = 5^n+1 + 5^-(n+1)(n+1)^2 (x+1)^3(n+1)-2 = 5^n+1 + 5^-(n+1)(n+1)^2 (x+1)^3n+1 :
an+1an = 5^n+1 + 5^-(n+1)(n+1)^2 cdot n^25^n + 5^-n cdot (x+1)^3n+1(x+1)^3n-2
Agora, formamos a razão an+1an = 5 cdot 5^n + 15 cdot 5^-n(n+1)^2 cdot n^25^n + 5^-n cdot (x+1)^3 :
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Notice que an+1an approx 5 cdot 5^n(n+1)^2 cdot n^25^n cdot (x+1)^3 = 5 n^2(n+1)^2 (x+1)^3 no denominador e numerador podem ser aproximados para L = limn to infty 5 n^2(n+1)^2 |x+1|^3 = 5 |x+1|^3 limn to infty ( nn+1 )^2 = 5 |x+1|^3 cdot 1 = 5 |x+1|^3 quando cresce, já que se torna muito pequeno. Assim, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que 5 |x+1|^3 < 1 :
|x+1|^3 < 15,
Resolvendo essa inequação:
|x+1| < ( 15 )^1/3,
|x+1| < 1raiz[3]5
-1raiz[3]5 < x + 1 < 1raiz[3]5,
Isso significa que:
-1 - 1raiz[3]5 < x < -1 + 1raiz[3]5

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
x in ( -1 - 1raiz[3]5, -1 + 1raiz[3]5 )

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