Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências. .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões matemáticas que envolvem somas infinitas de termos com potências de uma variável. Para encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica comum para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. O termo geral é dado por:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos simplificar ainda mais. Notice que an+1an approx 5 cdot 5^n(n+1)^2 cdot n^25^n cdot (x+1)^3 = 5 n^2(n+1)^2 (x+1)^3 no denominador e numerador podem ser aproximados para L = limn to infty 5 n^2(n+1)^2 |x+1|^3 = 5 |x+1|^3 limn to infty ( nn+1 )^2 = 5 |x+1|^3 cdot 1 = 5 |x+1|^3 quando cresce, já que se torna muito pequeno. Assim, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Para que a série converja, precisamos que 5 |x+1|^3 < 1 :