Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões matemáticas que envolvem somas infinitas de termos com potências de uma variável. Para encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica comum para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. O termo geral é dado por:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, formamos a razão :
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Notice que no denominador e numerador podem ser aproximados para quando cresce, já que se torna muito pequeno. Assim, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que :
Resolvendo essa inequação:
Isso significa que:

Resposta

O intervalo de convergência da série é:

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Calcule a integral
Resp.: .
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.