Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências. .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões matemáticas que envolvem somas infinitas de termos com potências de uma variável. Para encontrar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica comum para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. O termo geral é dado por:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, formamos a razão :
Simplificando essa expressão:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais. Notice que no denominador e numerador podem ser aproximados para quando cresce, já que se torna muito pequeno. Assim, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito: