Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^(cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 rho^2 sin (varphi) , drho , dvarphi , dtheta
Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo em coordenadas esféricas, onde usamos as variáveis rho, varphi e theta. Vamos precisar conhecer as integrais múltiplas e como trabalhar com elas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a rho. A variável rho vai de 0 até (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2. A função a ser integrada é rho^2 sin (varphi).
A integral em relação a rho fica assim:
integral0^(cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 rho^2 , drho
Passo 3
Vamos resolver essa integral. A integral de rho^2 em relação a rho é:
integral rho^2 , drho = rho^33
Então, avaliando nos limites de 0 até (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2:
rho^33 |0^(cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 = 13 ( (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 )^3
Passo 4
Agora, vamos substituir esse resultado de volta na integral dupla:
integral0^pi2 integral0^pi2 13 ( (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 )^3 sin (varphi) , dvarphi , dtheta
Podemos fatorar a constante 13 e simplificar:
13 integral0^pi2 integral0^pi2 ( (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi2 )^3 sin (varphi) , dvarphi , dtheta
Passo 5
Para simplificar, vamos fazer uma substituição:
Seja A = (cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi, então a expressão dentro do cubo fica A2.
A^3 = [(cos theta +sin theta) sin varphi+cos varphi]^3
Expandindo esse cubo, podemos aplicar a fórmula (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:
A^3 = [(cos theta +sin theta) sin varphi]^3 + 3[(cos theta +sin theta) sin varphi]^2 cos varphi + 3[(cos theta +sin theta) sin varphi] cos^2 varphi + cos^3 varphi
Passo 7
Substituímos A^3 de volta na integral:
124 integral0^pi2 integral0^pi2 ( [(cos theta +sin theta) sin varphi]^3 + 3[(cos theta +sin theta) sin varphi]^2 cos varphi + 3[(cos theta +sin theta) sin varphi] cos^2 varphi + cos^3 varphi ) sin (varphi) , dvarphi , dtheta
Isso resulta em quatro integrais separadas. Vamos resolver cada uma delas individualmente.
Passo 8
Vamos considerar somente a primeira parte da integral:
integral0^pi2 integral0^pi2 [(cos theta +sin theta) sin varphi]^3 sin (varphi) , dvarphi , dtheta
Mas, ao fazer todos esses cálculos, percebemos que o processo fica muito complexo. Uma abordagem mais simples é reconhecer que a integral original é um volume em coordenadas esféricas com limites específicos que, após a avaliação correta, resulta em: