Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o intervalo de convergência dessa série de potências:
Isso envolve entender para quais valores de essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é:
Legal, agora vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir quando a série converge.

Passo 3

O Teste da Razão diz que a série converge se:
Então, vamos calcular essa razão usando nosso .

Passo 4

Calculando :
Simplificando:
Agora, pegamos o valor absoluto:

Passo 5

Aplicando a condição do Teste da Razão:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Isso significa que deve estar entre -2 e 2 para a série convergir.

Passo 6

Então, o intervalo de convergência é:
Agora, só falta verificar as pontas e para ver se a série também converge nesses pontos.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
11.
12.
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera Resp.: .
Calcule a integral
Resp.: .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.