Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o intervalo de convergência dessa série de potências:
Isso envolve entender para quais valores de essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é:
Legal, agora vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir quando a série converge.
Passo 3
O Teste da Razão diz que a série converge se:
Então, vamos calcular essa razão usando nosso .
Passo 4
Calculando an+1an = x^2(n+1)+1(-4)^n+1x^2n+1(-4)^n = x^2n+3(-4)^n+1 times (-4)^nx^2n+1 :
Simplificando:
an+1an = x^2-4 = -x^24
Agora, pegamos o valor absoluto:
| an+1an | = | -x^24 | = x^24
Passo 5
Aplicando a condição do Teste da Razão:
x^24 < 1
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 < 4
Agora, tiramos a raiz quadrada:
|x| < 2
Isso significa que deve estar entre -2 e 2 para a série convergir.
Passo 6
Então, o intervalo de convergência é:
-2 < x < 2
Agora, só falta verificar as pontas e para ver se a série também converge nesses pontos.