Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o intervalo de convergência dessa série de potências:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
Isso envolve entender para quais valores de essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral an = x^2n+1(-4)^n é:
Legal, agora vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir quando a série converge.

Passo 3

O Teste da Razão diz que a série converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Então, vamos calcular essa razão usando nosso .

Passo 4

Calculando an+1an = x^2(n+1)+1(-4)^n+1x^2n+1(-4)^n = x^2n+3(-4)^n+1 times (-4)^nx^2n+1 :
Simplificando:
an+1an = x^2-4 = -x^24
Agora, pegamos o valor absoluto:
| an+1an | = | -x^24 | = x^24

Passo 5

Aplicando a condição do Teste da Razão:
x^24 < 1
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 < 4
Agora, tiramos a raiz quadrada:
|x| < 2
Isso significa que deve estar entre -2 e 2 para a série convergir.

Passo 6

Então, o intervalo de convergência é:
-2 < x < 2
Agora, só falta verificar as pontas e para ver se a série também converge nesses pontos.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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