Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(b) Calcule o valor de
, usando
, para
, utilizando a aproximação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma integral do tipo
e uma relação de recorrência que liga
a
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e recorrência. Para resolver, vamos usar a relação de recorrência fornecida e uma aproximação inicial para calcular
.
Passo 2
A relação de recorrência que temos é
. Podemos reescrevê-la para encontrar
em termos de
:
Isso nos permite calcular valores de
para índices menores a partir de índices maiores.
Passo 3
O exercício nos pede para calcular
começando de
. Vamos aplicar a relação de recorrência passo a passo:
Passo 4
Percebemos um padrão interessante aqui. Ao aplicar a relação, sempre que temos
, então:
Isso sugere que:
Passo 5
Seguindo esse padrão, para
até
, temos:
Resposta
Portanto, o valor de
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Considere a série Harmônica dada por
. Mostra-se que
e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos
, usando o algoritmo:
e
, obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m)
(m)
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
(g)
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.