Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(b) Calcule o valor de , usando , para , utilizando a aproximação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma integral do tipo e uma relação de recorrência que liga a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e recorrência. Para resolver, vamos usar a relação de recorrência fornecida e uma aproximação inicial para calcular .

Passo 2

A relação de recorrência que temos é . Podemos reescrevê-la para encontrar em termos de :
Isso nos permite calcular valores de para índices menores a partir de índices maiores.

Passo 3

O exercício nos pede para calcular começando de . Vamos aplicar a relação de recorrência passo a passo:

Passo 4

Percebemos um padrão interessante aqui. Ao aplicar a relação, sempre que temos , então:
Isso sugere que:

Passo 5

Seguindo esse padrão, para até , temos:

Resposta

Portanto, o valor de é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Considere a série Harmônica dada por . Mostra-se que e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos , usando o algoritmo: e , obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m)
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.