Considere a integral abaixo:
In=integral0^1 x^n e^x-1 d x
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
In=1-n In-1 ; n=2,3, ldots
(b) Calcule o valor de I100, usando In-1=(1-In)n, para n=200,199, ldots, 101, utilizando a aproximação I200 approx 1 / 201.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma integral do tipo e uma relação de recorrência que liga a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e recorrência. Para resolver, vamos usar a relação de recorrência fornecida e uma aproximação inicial para calcular .

Passo 2

A relação de recorrência que temos é In-1 = 1 - Inn . Podemos reescrevê-la para encontrar em termos de :
Isso nos permite calcular valores de para índices menores a partir de índices maiores.

Passo 3

O exercício nos pede para calcular I199 = 1 - I200200 approx 1 - 1201200 = 200201 times 200 = 1201 começando de . Vamos aplicar a relação de recorrência passo a passo:

Passo 4

Percebemos um padrão interessante aqui. Ao aplicar a relação, sempre que temos In-1 = 1 - 1n+1n = nn(n+1) = 1n+1 , então:
In approx 1n+1
Isso sugere que:

Passo 5

Seguindo esse padrão, para I200 approx 1201 I199 approx 1200 I198 approx 1199 vdots I100 approx 1101 até , temos:

Resposta

Portanto, o valor de I100 approx 1101 approx 0,00990099 é aproximadamente:

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