Considere a série Harmônica dada por S=sumn=1^infty 1n. Mostra-se que S>1+12+12+cdots e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos S, usando o algoritmo: S1=1 e Sk+1=Sk+1k+1, k >= 1, obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.

Passo 1

Então, a gente tem a série Harmônica, que é S = sumn=1^infty 1n. A questão diz que, matematicamente, essa série é infinita, ou seja, ela diverge. Porém, se a gente calcula os termos passo a passo usando S1 = 1 e Sk+1 = Sk + 1k+1, o resultado sempre parece ser um número finito. Vamos entender por que isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série divergente. Isso significa que, à medida que a gente vai somando mais e mais termos, o total da soma cresce sem limite, indo para o infinito. No caso da série Harmônica, mesmo adicionando termos cada vez menores, o total nunca para de aumentar.

Passo 3

Agora, quando usamos o algoritmo Sk+1 = Sk + 1k+1, estamos calculando uma soma parcial. Ou seja, a gente pega um número finito de termos e soma. Por exemplo, se k = 100, o S100 é a soma dos primeiros 100 termos da série. Para qualquer número finito de termos, a soma sempre será um número finito.

Passo 4

O problema é que, para concluir que a série diverge, a gente precisa considerar o limite quando k vai para o infinito. Quando fazemos isso, a soma parcial Sk cresce sem parar. Mesmo que a cada passo a gente adicione um termo menor, o total continua aumentando e nunca se estabiliza em um número finito.

Passo 5

Então, o que acontece é que o algoritmo mostra resultados finitos para somas parciais, mas a série completa, que envolve somar infinitos termos, na verdade não tem um valor finito. O que o algoritmo faz é nos dar uma aproximação para qualquer quantidade limitada de termos, mas não resolve o fato de que, no infinito, a soma tende ao infinito.

Resposta

A soma parcial calculada pelo algoritmo dá um valor finito porque está somando apenas um número limitado de termos, mas a série Harmônica é infinita e seu total cresce sem limite. Portanto, embora cada soma parcial seja finita, a série completa diverge para o infinito.

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