Considere a série Harmônica dada por
. Mostra-se que
e portanto é divergente. No entanto, se calcularmos
, usando o algoritmo:
e
, obtemos um resultado finito. Explique o que ocorre.
Passo 1
Então, a gente tem a série Harmônica, que é
. A questão diz que, matematicamente, essa série é infinita, ou seja, ela diverge. Porém, se a gente calcula os termos passo a passo usando
e
, o resultado sempre parece ser um número finito. Vamos entender por que isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série divergente. Isso significa que, à medida que a gente vai somando mais e mais termos, o total da soma cresce sem limite, indo para o infinito. No caso da série Harmônica, mesmo adicionando termos cada vez menores, o total nunca para de aumentar.
Passo 3
Agora, quando usamos o algoritmo
, estamos calculando uma soma parcial. Ou seja, a gente pega um número finito de termos e soma. Por exemplo, se k = 100, o
é a soma dos primeiros 100 termos da série. Para qualquer número finito de termos, a soma sempre será um número finito.
Passo 4
O problema é que, para concluir que a série diverge, a gente precisa considerar o limite quando k vai para o infinito. Quando fazemos isso, a soma parcial
cresce sem parar. Mesmo que a cada passo a gente adicione um termo menor, o total continua aumentando e nunca se estabiliza em um número finito.
Passo 5
Então, o que acontece é que o algoritmo mostra resultados finitos para somas parciais, mas a série completa, que envolve somar infinitos termos, na verdade não tem um valor finito. O que o algoritmo faz é nos dar uma aproximação para qualquer quantidade limitada de termos, mas não resolve o fato de que, no infinito, a soma tende ao infinito.
Resposta
A soma parcial calculada pelo algoritmo dá um valor finito porque está somando apenas um número limitado de termos, mas a série Harmônica é infinita e seu total cresce sem limite. Portanto, embora cada soma parcial seja finita, a série completa diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
(m)
(m)
Considere
Encontre os intervalos de convergência para
.
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
(b) Calcule o valor de
, usando
, para
, utilizando a aproximação
.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(g)
(g)