Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
x^2-3x-2

Passo 1

Entendendo o Problema e o Que Precisamos Fazer
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função 11 - x = sumn=0^infty x^n e queremos representá-la como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a série geométrica conhecida:
Essa série é válida para . Além de representar a função como uma série de potências, também precisamos determinar o raio de convergência (a distância a partir do centro da série onde ela converge) e o intervalo de convergência (os valores de para os quais a série converge).

Passo 2

Simplificando a Função Original
Primeiro, vamos simplificar a função x^2 - 3x - 2 = x + 2 + 1x - 2 fazendo uma divisão polinomial. Isso nos ajudará a separar termos que podem ser facilmente convertidos em séries de potências.
Dividindo por :
  1. Divisão Inicial:
    • Dividendo:
    • Divisor:
  2. Primeiro Termo:
    • Multiplicamos pelo divisor:
    • Subtraímos do dividendo:
  3. Segundo Termo:
    • Multiplicamos pelo divisor:
    • Subtraímos:
Portanto, a divisão resulta em:

Passo 3

Manipulando a Fração Restante para Usar a Série Geométrica
Agora, temos a expressão:
x^2 - 3x - 2 = x + 2 + 1x - 2
Nosso objetivo é representar 1x - 2 = -12 - x = -12(1 - x2) como uma série de potências de 1x - 2 = -12 cdot 11 - x2 , usando a série geométrica que conhecemos. Para isso, vamos manipular a fração para se assemelhar a .
Primeiro, reescrevemos de forma a isolar algo:
Agora, temos:

Passo 4

Aplicando a Série Geométrica
Sabemos que:
11 - u = sumn=0^infty u^n, |u| < 1
Aqui, 11 - x2 = sumn=0^infty (x2)^n, |x2| < 1 Rightarrow |x| < 2 . Substituindo na série geométrica:
1x - 2 = -12 sumn=0^infty (x2)^n, |x| < 2
Portanto:

Passo 5

Montando a Série de Potências da Função Original
Voltando à expressão inicial que obtivemos:
x^2 - 3x - 2 = x + 2 + 1x - 2
Substituímos x^2 - 3x - 2 = x + 2 - 12 sumn=0^infty (x2)^n, |x| < 2 pela série que encontramos:
x^2 - 3x - 2 = x + 2 - 12(1 + x2 + x^24 + x^38 + cdots), |x| < 2
Podemos também escrever a série de forma expandida:

Passo 6

Determinação do Raio e Intervalo de Convergência
A série geométrica que usamos tem a condição de convergência . Isso significa que a série que representou converge quando o valor absoluto de é menor que 2.
  • Raio de Convergência:
  • Intervalo de Convergência:

Resposta

A função x^2 - 3x - 2 = x + 2 - 12 sumn=0^infty (x2)^n pode ser representada como:
Essa série converge para todos os valores de no intervalo , com raio de convergência igual a 2.

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