Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Que Precisamos Fazer
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos representá-la como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a série geométrica conhecida:
Essa série é válida para . Além de representar a função como uma série de potências, também precisamos determinar o raio de convergência (a distância a partir do centro da série onde ela converge) e o intervalo de convergência (os valores de para os quais a série converge).
Passo 2
Simplificando a Função Original
Primeiro, vamos simplificar a função fazendo uma divisão polinomial. Isso nos ajudará a separar termos que podem ser facilmente convertidos em séries de potências.
Dividindo por :
Divisão Inicial:
Dividendo:
Divisor:
Primeiro Termo:
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos do dividendo:
Segundo Termo:
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos:
Portanto, a divisão resulta em:
Passo 3
Manipulando a Fração Restante para Usar a Série Geométrica
Agora, temos a expressão:
Nosso objetivo é representar como uma série de potências de , usando a série geométrica que conhecemos. Para isso, vamos manipular a fração para se assemelhar a .
Primeiro, reescrevemos de forma a isolar algo:
Agora, temos:
Passo 4
Aplicando a Série Geométrica
Sabemos que:
Aqui, . Substituindo na série geométrica:
Portanto:
Passo 5
Montando a Série de Potências da Função Original
Voltando à expressão inicial que obtivemos:
x^2 - 3x - 2 = x + 2 + 1x - 2
Substituímos x^2 - 3x - 2 = x + 2 - 12 sumn=0^infty (x2)^n, |x| < 2 pela série que encontramos:
Podemos também escrever a série de forma expandida:
Passo 6
Determinação do Raio e Intervalo de Convergência
A série geométrica que usamos tem a condição de convergência . Isso significa que a série que representou converge quando o valor absoluto de é menor que 2.
Raio de Convergência:
Intervalo de Convergência:
Resposta
A função x^2 - 3x - 2 = x + 2 - 12 sumn=0^infty (x2)^n pode ser representada como:
Essa série converge para todos os valores de no intervalo , com raio de convergência igual a 2.