Considere a integral abaixo:
In=integral0^1 x^n e^x-1 d x
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
In=1-n In-1 ; n=2,3, ldots
© Sabendo-se que 0 <= In <= 1 /(n+1), compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral e uma relação de recorrência que diz para . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo aqui é comparar essas duas formas de estimar , ver qual delas tem um erro maior e descobrir qual é a melhor maneira de calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender essa relação de recorrência I0 = integral0^1 x^0 e^x-1 dx = integral0^1 e^x-1 dx . Ela nos permite calcular I0 = integral-1^0 e^u du = e^0 - e^-1 = 1 - 1e approx 0,6321 usando o valor anterior . Para começar, precisamos de um valor inicial. Vamos calcular :
Fazendo a substituição , temos:

Passo 3

Agora, usando a relação de recorrência, vamos calcular alguns valores de I1 = 1 - 1 cdot I0 = 1 - 0,6321 = 0,3679 :
Para I2 = 1 - 2 cdot I1 = 1 - 2 cdot 0,3679 = 1 - 0,7358 = 0,2642 :
Para :
E assim por diante para valores maiores de .

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a estimativa 11+1 = 12 = 0,5 . Vamos calcular essa fração para os mesmos valores de 12+1 = 13 approx 0,3333 :
Para :
Para :
Comparando com os valores de :
  • Para : vs
  • Para : vs

Passo 5

Vamos analisar os erros:
Para Erro da estimativa = |0,5 - 0,3679| = 0,1321 :
Erro da estimativa = |0,3333 - 0,2642| approx 0,0691
Para :
Já a relação de recorrência nos dá valores de que são mais precisos em relação ao valor real da integral, já que estamos calculando diretamente baseado nos valores anteriores exatos.

Resposta

A estimativa usando apresenta um erro maior comparado aos valores obtidos pela relação de recorrência . Portanto, a melhor maneira de calcular é utilizando a relação de recorrência, pois ela proporciona uma aproximação mais precisa.

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