Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que , compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral e uma relação de recorrência que diz para . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo aqui é comparar essas duas formas de estimar , ver qual delas tem um erro maior e descobrir qual é a melhor maneira de calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender essa relação de recorrência . Ela nos permite calcular usando o valor anterior . Para começar, precisamos de um valor inicial. Vamos calcular :
Fazendo a substituição , temos:

Passo 3

Agora, usando a relação de recorrência, vamos calcular alguns valores de :
Para :
Para :
E assim por diante para valores maiores de .

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a estimativa . Vamos calcular essa fração para os mesmos valores de :
Para :
Para :
Comparando com os valores de :
  • Para : vs
  • Para : vs

Passo 5

Vamos analisar os erros:
Para :
Para :
Já a relação de recorrência nos dá valores de que são mais precisos em relação ao valor real da integral, já que estamos calculando diretamente baseado nos valores anteriores exatos.

Resposta

A estimativa usando apresenta um erro maior comparado aos valores obtidos pela relação de recorrência . Portanto, a melhor maneira de calcular é utilizando a relação de recorrência, pois ela proporciona uma aproximação mais precisa.

Exercícios relacionados

Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(b)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® .
Verifica-se que a série de Taylor da função em torno de é:
As somas parciais podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de da calculadora.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)