Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que
, compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a integral
e uma relação de recorrência que diz
para
. Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo aqui é comparar essas duas formas de estimar
, ver qual delas tem um erro maior e descobrir qual é a melhor maneira de calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender essa relação de recorrência
. Ela nos permite calcular
usando o valor anterior
. Para começar, precisamos de um valor inicial. Vamos calcular
:
Fazendo a substituição
, temos:
Passo 3
Agora, usando a relação de recorrência, vamos calcular alguns valores de
:
Para
:
Para
:
E assim por diante para valores maiores de
.
Passo 4
Agora, vamos comparar isso com a estimativa
. Vamos calcular essa fração para os mesmos valores de
:
Para
:
Para
:
Comparando com os valores de
:
- Para
: vs - Para
: vs
Passo 5
Vamos analisar os erros:
Para
:
Para
:
Já a relação de recorrência nos dá valores de
que são mais precisos em relação ao valor real da integral, já que estamos calculando diretamente baseado nos valores anteriores exatos.
Resposta
A estimativa usando
apresenta um erro maior comparado aos valores obtidos pela relação de recorrência
. Portanto, a melhor maneira de calcular
é utilizando a relação de recorrência, pois ela proporciona uma aproximação mais precisa.
Exercícios relacionados
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(b)
(b)
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® .
®
Verifica-se que a série de Taylor da função
em torno de
é:
As somas parciais
podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de
de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de
da calculadora.
© Compare estes dois procedimentos com
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
(h)