Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Série de Taylor. A questão pede para calcular uma aproximação de
usando um polinômio de grau 3, expandido em torno de
. Para isso, vamos precisar entender como a Série de Taylor funciona para funções trigonométricas e como calcular o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Como precisamos de um polinômio de grau 3, vamos parar nos termos até a terceira derivada.
Passo 3
Vamos aplicar isso à função
. Primeiro, encontramos as derivadas necessárias:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas em
. Sabemos que:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da Série de Taylor até o termo de grau 3:
Aqui, usamos que
.
Passo 6
Vamos converter os graus para radianos para facilitar os cálculos, já que as funções trigonométricas em séries de Taylor geralmente usam radianos. Sabemos que:
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando cada termo:
Passo 9
Somando todos os termos:
Passo 10
Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação. O termo seguinte na Série de Taylor serve como uma estimativa do erro. Como usamos um polinômio de grau 3, o próximo termo é de grau 4:
Para
, a quarta derivada é
, e sabemos que
para qualquer
.
Passo 11
Portanto, o erro máximo é:
Resposta
Aproximando
usando a Série de Taylor de grau 3 em torno de
, obtemos
. O limite superior do erro dessa aproximação é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® .
®
Considere um computador de 14 bits com expoente máximo
(15) e a representação em aritmética flutuante na base 2 .
(d) Determine o menor valor de tal que
.
(d) Determine o menor valor de
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que
, compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Verifica-se que a série de Taylor da função
em torno de
é:
As somas parciais
podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de
de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de
da calculadora.
© Compare estes dois procedimentos com