Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Série de Taylor. A questão pede para calcular uma aproximação de usando um polinômio de grau 3, expandido em torno de . Para isso, vamos precisar entender como a Série de Taylor funciona para funções trigonométricas e como calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Taylor para uma função em torno de um ponto é dada por:
Como precisamos de um polinômio de grau 3, vamos parar nos termos até a terceira derivada.

Passo 3

Vamos aplicar isso à função . Primeiro, encontramos as derivadas necessárias:

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas em . Sabemos que:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da Série de Taylor até o termo de grau 3:
Aqui, usamos que .

Passo 6

Vamos converter os graus para radianos para facilitar os cálculos, já que as funções trigonométricas em séries de Taylor geralmente usam radianos. Sabemos que:

Passo 7

Substituindo os valores:

Passo 8

Calculando cada termo:

Passo 9

Somando todos os termos:

Passo 10

Agora, vamos calcular o erro dessa aproximação. O termo seguinte na Série de Taylor serve como uma estimativa do erro. Como usamos um polinômio de grau 3, o próximo termo é de grau 4:
Para , a quarta derivada é , e sabemos que para qualquer .

Passo 11

Portanto, o erro máximo é:

Resposta

Aproximando usando a Série de Taylor de grau 3 em torno de , obtemos . O limite superior do erro dessa aproximação é aproximadamente .

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
® .
Considere um computador de 14 bits com expoente máximo (15) e a representação em aritmética flutuante na base 2 .
(d) Determine o menor valor de tal que .
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que , compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Verifica-se que a série de Taylor da função em torno de é:
As somas parciais podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de da calculadora.