Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que descobrir pra quais valores de
essa série de potências vai convergir. A série é:
Vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, a gente simplifica os termos da série. Observa que:
Então, a expressão da série fica:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
Aqui,
an+1an = (2(n+1))!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^n+1 times (2^n cdot n!)^2(2n)! cdot 1x^n . Vamos calcular
an+1an = (2n+2)(2n+1)4(n+1)^2 cdot x :
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular o limite quando
limn to infty | (2n+2)(2n+1)4(n+1)^2 cdot x | = limn to infty | 4n^2 + 6n + 24n^2 + 8n + 4 cdot x | = | 44 cdot x | = |x| tende ao infinito:
Passo 5
Para que a série convirja, precisa ser que:
Isso significa que o intervalo de convergência é de
a
.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.