Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1) cdot x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir pra quais valores de sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) cdot x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) essa série de potências vai convergir. A série é:
Vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, a gente simplifica os termos da série. Observa que:
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n cdot n!
2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n) = 2^n cdot n!
Então, a expressão da série fica:
(2n)!2^n cdot n! cdot x^n2^n cdot n! = (2n)!(2^n cdot n!)^2 cdot x^n

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Aqui, an+1an = (2(n+1))!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^n+1 times (2^n cdot n!)^2(2n)! cdot 1x^n . Vamos calcular an+1an = (2n+2)(2n+1)4(n+1)^2 cdot x :
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular o limite quando limn to infty | (2n+2)(2n+1)4(n+1)^2 cdot x | = limn to infty | 4n^2 + 6n + 24n^2 + 8n + 4 cdot x | = | 44 cdot x | = |x| tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja, precisa ser que:
|x| < 1
Isso significa que o intervalo de convergência é de a .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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