Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o limite :
Sabemos que tende para quando cresce. Então,
Portanto,

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
  • Se , então e a série converge.
  • Se , então e a série diverge.
  • Se , o teste não conclui, e precisamos verificar os extremos.

Passo 5

Vamos verificar os extremos:
  1. Para :
A série fica:
Como tende para , os termos não vão a zero, então a série diverge.
  1. Para :
A série fica:
Mesmo semelhantes ao caso anterior, os termos não tendem a zero, então a série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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