Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty x^n arctg n

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty x^n arctan(n)
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = x^n arctan(n)
O nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o limite L = limn to infty | x^n+1 arctan(n+1)x^n arctan(n) | = limn to infty |x| cdot arctan(n+1)arctan(n) :
limn to infty arctan(n+1)arctan(n) = 1
Sabemos que L = |x| cdot 1 = |x| tende para quando cresce. Então,
Portanto,

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
  • Se , então e a série converge.
  • Se , então e a série diverge.
  • Se , o teste não conclui, e precisamos verificar os extremos.

Passo 5

Vamos verificar os extremos:
  1. Para sumn=1^infty arctan(n):
A série fica:
sumn=1^infty (-1)^n arctan(n)
Como tende para , os termos não vão a zero, então a série diverge.
  1. Para :
A série fica:
Mesmo semelhantes ao caso anterior, os termos não tendem a zero, então a série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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