Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l51.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento das funções quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que inicialmente dão formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para ver se conseguimos identificar uma forma indeterminada. Vamos juntar as frações:
Agora, reescrevemos o limite:

Passo 3

Observamos que, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, formando uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso é o que a Regra de L’Hôpital resolve: se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Usamos a regra do produto:

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
Agora, vamos avaliar o limite substituindo :
Parece que ainda temos uma forma indeterminada, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 7

Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos :

Resposta

O limite é .

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Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
15.
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l15.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.