Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l51. lim x 0^+(1x-1e^x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento das funções quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que inicialmente dão formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para ver se conseguimos identificar uma forma indeterminada. Vamos juntar as frações:
1x - 1e^x - 1 = e^x - 1 - xx(e^x - 1)
Agora, reescrevemos o limite:
lim x 0^+ e^x - 1 - xx(e^x - 1)

Passo 3

Observamos que, quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, formando uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso é o que a Regra de L’Hôpital resolve: se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx(e^x - 1 - x) = e^x - 1 :
ddx[x(e^x - 1)] = 1 cdot (e^x - 1) + x cdot e^x = e^x - 1 + x e^x
Derivada do denominador :
Usamos a regra do produto:

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
lim x 0^+ e^x - 1e^x - 1 + x e^x
Agora, vamos avaliar o limite substituindo e^0 - 1e^0 - 1 + 0 cdot e^0 = 1 - 11 - 1 + 0 = 00 :
Parece que ainda temos uma forma indeterminada, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx(e^x - 1) = e^x :
ddx(e^x - 1 + x e^x) = e^x + e^x + x e^x = 2e^x + x e^x
Derivada do denominador :

Passo 7

Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
lim x 0^+ e^x2e^x + x e^x
Agora, substituímos e^02e^0 + 0 cdot e^0 = 12 cdot 1 + 0 = 12 :

Resposta

O limite é .

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