Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l51.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício envolve cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento das funções quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica útil para encontrar limites que inicialmente dão formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para ver se conseguimos identificar uma forma indeterminada. Vamos juntar as frações:
Agora, reescrevemos o limite:
Passo 3
Observamos que, quando
se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, formando uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Isso é o que a Regra de L’Hôpital resolve: se
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Usamos a regra do produto:
Usamos a regra do produto:
Passo 5
Aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
Agora, vamos avaliar o limite substituindo
:
Parece que ainda temos uma forma indeterminada, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 6
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 7
Aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
15.
15.
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l15.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.