Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de aproximação linear pra função no ponto . Esse é um problema de cálculo multivariável, onde a gente usa a ideia de aproximação linear para entender como a função se comporta perto de um ponto específico. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aproximação linear. A aproximação linear de uma função no ponto é dada pela fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Como a gente vai aproximar no ponto , e .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo e na função:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Derivando em relação a :
A derivada da segunda parte é zero, então:
Simplificando:
Agora, avaliando em :

Passo 5

Vamos calcular agora a derivada parcial de em relação a , . Derivando em relação a :
A derivada da segunda parte é 2, então:
Agora, avaliando em :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos montar a aproximação linear:

Resposta

A aproximação linear da função no ponto é .

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