Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
13.
13.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de aproximação linear pra função
no ponto
. Esse é um problema de cálculo multivariável, onde a gente usa a ideia de aproximação linear para entender como a função se comporta perto de um ponto específico. A gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aproximação linear. A aproximação linear de uma função
no ponto
é dada pela fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Como a gente vai aproximar no ponto
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
e
na função:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Derivando
em relação a
:
A derivada da segunda parte é zero, então:
Simplificando:
Agora, avaliando em
:
Passo 5
Vamos calcular agora a derivada parcial de
em relação a
,
. Derivando
em relação a
:
A derivada da segunda parte é 2, então:
Agora, avaliando em
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos montar a aproximação linear:
Resposta
A aproximação linear da função no ponto
é
.
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Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
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