Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
15.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a aproximação linear da função no ponto . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente usando a linearização de funções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, estamos procurando uma reta que “aproxima” a função perto do ponto . Matematicamente, isso é dado por:
Aqui, são as coordenadas do ponto onde estamos aproximando a função.

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função original:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 6

Com todos os componentes calculados, vamos montar a aproximação linear :
Simplificando:

Resposta

A aproximação linear da função no ponto é:

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Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l15.
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l57.
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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.