Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
15.
15.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a aproximação linear da função
no ponto
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente usando a linearização de funções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, estamos procurando uma reta que “aproxima” a função perto do ponto
. Matematicamente, isso é dado por:
Aqui,
são as coordenadas do ponto onde estamos aproximando a função.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo na função original:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 6
Com todos os componentes calculados, vamos montar a aproximação linear
:
Simplificando:
Resposta
A aproximação linear da função no ponto
é:
Exercícios relacionados
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l15.
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l57.
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l51.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.