Determine uma série de potências de para a função e uma série de potências de para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas séries de potências:
  1. Uma série de potências em para a função .
  2. Uma série de potências em para a função .
Para isso, vamos usar séries de Taylor, que são maneiras de representar funções como somas infinitas de potências de ao redor de um ponto específico. Vamos precisar saber calcular derivadas e entender o conceito de expansão em série.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: encontrar a série de potências de para .
Primeiro, identificamos que queremos expandir em torno de . Isso significa que vamos reescrever a função em termos de .
A fórmula da série de Taylor para uma função em torno de é:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos aplicar isso para e .
Primeiro, calculamos a -ésima derivada de :
Agora, avaliamos essa derivada em :
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Portanto, a série de potências de para é:

Passo 4

Agora vamos para a segunda parte: encontrar a série de potências de para .
Queremos expandir em torno de . Novamente, usamos a série de Taylor:
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de :
]
E assim por diante. Observamos que:
Avaliando em :
Substituindo na fórmula da série de Taylor:

Resposta

Portanto, as séries de potências são:
  1. Para em :
  1. Para em :

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Dados
e
determinar:
Calcule a integral:
.
Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções: e .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.