Determine uma série de potências de
para a função
e uma série de potências de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas séries de potências:
- Uma série de potências em
para a função . - Uma série de potências em
para a função .
Para isso, vamos usar séries de Taylor, que são maneiras de representar funções como somas infinitas de potências de
ao redor de um ponto específico. Vamos precisar saber calcular derivadas e entender o conceito de expansão em série.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: encontrar a série de potências de
para
.
Primeiro, identificamos que queremos expandir
em torno de
. Isso significa que vamos reescrever a função em termos de
.
A fórmula da série de Taylor para uma função
em torno de
é:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para
e
.
Primeiro, calculamos a
-ésima derivada de
:
Agora, avaliamos essa derivada em
:
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Portanto, a série de potências de
para
é:
Passo 4
Agora vamos para a segunda parte: encontrar a série de potências de
para
.
Queremos expandir
em torno de
. Novamente, usamos a série de Taylor:
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
:
]
E assim por diante. Observamos que:
Avaliando em
:
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Resposta
Portanto, as séries de potências são:
- Para
em :
- Para
em :
Exercícios relacionados
Dados
e
e
determinar:
Calcule a integral:
.
Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funções:
e
.
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|
|
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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.