Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
x2-3 x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para representar a função x2-3x como uma série de potências de x. Para isso, vamos usar a fórmula conhecida 11-x = sumn=0^infty x^n, que funciona quando |x| < 1. Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x2-3x de uma forma que se assemelhe à fórmula 11-x. Vamos fatorar o denominador:
x2-3x = x2 (1 - 3x2) = x2 cdot 11 - 3x2
Aqui, separamos o denominador em um fator constante (2) e uma expressão que pode ser comparada com 1 - x da fórmula original.

Passo 3

Agora, observamos que a expressão 11 - 3x2 se encaixa na fórmula 11 - y, onde y = 3x2. Sabemos que:
11 - y = sumn=0^infty y^n
Substituindo y por 3x2, temos:
11 - 3x2 = sumn=0^infty (3x2)^n

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, substituímos a série que encontramos:
x2-3x = x2 cdot sumn=0^infty (3x2)^n = sumn=0^infty x2 (3x2)^n
Podemos simplificar isso combinando os termos:
sumn=0^infty 3^n x^n+12^n+1

Passo 5

Para deixar a série mais elegante, podemos reescrever os índices começando em n=1:
sumn=1^infty 3^n-1 x^n2^n
Mas geralmente mantemos a forma anterior para facilitar a compreensão:
sumn=0^infty 3^n x^n+12^n+1

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série sumn=0^infty y^n converge quando |y| < 1. No nosso caso, y = 3x2, então:
|3x2| < 1 implies |x| < 23
O raio de convergência R é o valor tal que |x| < R. Portanto, R = 23.
O intervalo de convergência é então:
-23 < x < 23

Resposta

A representação da função x2-3x como uma série de potências de x é:
x2-3x = sumn=0^infty 3^n x^n+12^n+1
O raio de convergência dessa série �� R = 23, e o intervalo de convergência é -23 < x < 23.

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