Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para representar a função como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a fórmula conhecida , que funciona quando . Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à fórmula . Vamos fatorar o denominador:
Aqui, separamos o denominador em um fator constante (2) e uma expressão que pode ser comparada com da fórmula original.
Passo 3
Agora, observamos que a expressão se encaixa na fórmula , onde . Sabemos que:
Substituindo por , temos:
Passo 4
Voltando à nossa expressão original, substituímos a série que encontramos:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Passo 5
Para deixar a série mais elegante, podemos reescrever os índices começando em :
Mas geralmente mantemos a forma anterior para facilitar a compreensão:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série converge quando . No nosso caso, , então:
O raio de convergência é o valor tal que . Portanto, .
O intervalo de convergência é então:
Resposta
A representação da função como uma série de potências de é:
O raio de convergência dessa série �� , e o intervalo de convergência é .