Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para representar a função como uma série de potências de . Para isso, vamos usar a fórmula conhecida , que funciona quando . Precisamos adaptar essa fórmula para a nossa função e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à fórmula . Vamos fatorar o denominador:
Aqui, separamos o denominador em um fator constante (2) e uma expressão que pode ser comparada com da fórmula original.

Passo 3

Agora, observamos que a expressão se encaixa na fórmula , onde . Sabemos que:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, substituímos a série que encontramos:
Podemos simplificar isso combinando os termos:

Passo 5

Para deixar a série mais elegante, podemos reescrever os índices começando em :
Mas geralmente mantemos a forma anterior para facilitar a compreensão:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série converge quando . No nosso caso, , então:
O raio de convergência é o valor tal que . Portanto, .
O intervalo de convergência é então:

Resposta

A representação da função como uma série de potências de é:
O raio de convergência dessa série �� , e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
a) em
Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.