Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, para quais intervalos de a soma infinita dá um resultado definido. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite , então:
  • Se , a série converge.
  • Se ou tende ao infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Razão.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:

Passo 4

Vamos analisar o limite:
  • Se , então tende ao infinito à medida que cresce.
  • Se , a expressão é sempre zero.
De acordo com o Teste da Razão:
  • Para , o limite é infinito, o que significa que a série diverge.
  • Para , a série se resume a , que obviamente converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas .

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.