Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, para quais intervalos de a soma infinita dá um resultado definido. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite , então:
Se , a série converge.
Se ou tende ao infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos aplicar o Teste da Razão.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
Passo 4
Vamos analisar o limite:
Se , então tende ao infinito à medida que cresce.
Se , a expressão é sempre zero.
De acordo com o Teste da Razão:
Para , o limite é infinito, o que significa que a série diverge.
Para , a série se resume a , que obviamente converge.