Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, para quais intervalos de a soma infinita dá um resultado definido. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1 ou L tende ao infinito, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = n!x^n. Vamos aplicar o Teste da Razão.
Passo 3
Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)! , x^n+1n! , x^n = (n+1) cdot x
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
limn to infty | (n+1) cdot x | = limn to infty (n+1) cdot |x|
Passo 4
Vamos analisar o limite:
Se x neq 0, então (n+1) cdot |x| tende ao infinito à medida que n cresce.
Se x = 0, a expressão é sempre zero.
De acordo com o Teste da Razão:
Para x neq 0, o limite é infinito, o que significa que a série diverge.
Para x = 0, a série se resume a sumn=0^infty 0 = 0, que obviamente converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série sumn=0^infty n!x^n é apenas x = 0.