Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n!x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: sumn=0^infty n!x^n. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge, ou seja, para quais intervalos de x a soma infinita dá um resultado definido. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1 ou L tende ao infinito, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = n!x^n. Vamos aplicar o Teste da Razão.

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)! , x^n+1n! , x^n = (n+1) cdot x
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
limn to infty | (n+1) cdot x | = limn to infty (n+1) cdot |x|

Passo 4

Vamos analisar o limite:
  • Se x neq 0, então (n+1) cdot |x| tende ao infinito à medida que n cresce.
  • Se x = 0, a expressão é sempre zero.
De acordo com o Teste da Razão:
  • Para x neq 0, o limite é infinito, o que significa que a série diverge.
  • Para x = 0, a série se resume a sumn=0^infty 0 = 0, que obviamente converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série sumn=0^infty n!x^n é apenas x = 0.

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