Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de séries, especialmente o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Note que tende a 1 quando cresce, então podemos focar na parte .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para séries de potências, que é muito útil quando temos potências de no expoente. O teste diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 4

Aplicando o teste:
Como também tende a 1 quando vai para o infinito, simplificamos para:

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Isso nos dá:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em