Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n
Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de séries, especialmente o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
an = (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n
Note que tende a 1 quando cresce, então podemos focar na parte .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para séries de potências, que é muito útil quando temos potências de limn to infty raiz[n]|an| < 1 no expoente. O teste diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 4

Aplicando o teste:
limn to infty raiz[n]| (-1)^n+1(x-3)^4nn^1 / n | = limn to infty |x-3|^4n^1/(n^2)
Como limn to infty |x-3|^4 = |x-3|^4 também tende a 1 quando vai para o infinito, simplificamos para:

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que:
|x-3|^4 < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x-3| < 1^1/4 implies |x-3| < 1
Isso nos dá:
-1 < x - 3 < 1
2 < x < 4

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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