Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se
tem raio de convergência 2 e
tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de
é
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas séries de potências: uma com raio de convergência igual a 2 e outra com raio igual a 3. A pergunta é: se somarmos os termos correspondentes dessas duas séries, o raio de convergência da nova série será 2? Vamos usar conceitos de séries de potências e raio de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências da forma
, o raio de convergência
é o valor tal que a série converge para todo
com
e diverge para
. Esse raio pode ser encontrado usando o critério do limite ou a fórmula de Cauchy.
Passo 3
Agora, temos duas séries:
-
com raio de convergência . -
com raio de convergência .
Queremos encontrar o raio de convergência da série
.
Passo 4
Vamos pensar no que significa somar duas séries de potências. Para que a série resultante
convirja em um certo ponto
, ambas as séries originais precisam convergir nesse ponto. Isso porque se uma delas diverge, a soma pode não fazer sentido ou também divergir.
Passo 5
O que isso implica para os raios de convergência? Significa que a série somada só vai convergir onde ambas as séries originais convergem. Ou seja, o raio de convergência da soma será o menor dos raios de convergência das séries originais. No nosso caso, o menor raio é
.
Passo 6
Portanto, o raio de convergência da série
é igual a 2.
Resposta
Verdadeiro. O raio de convergência da série
é
.
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Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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