Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se sumn=0^infty cn x^n tem raio de convergência 2 e sumn=0^infty dn x^n tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de sumn=0^infty(cn+dn) x^n é R=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas séries de potências: uma com raio de convergência igual a 2 e outra com raio igual a 3. A pergunta é: se somarmos os termos correspondentes dessas duas séries, o raio de convergência da nova série será 2? Vamos usar conceitos de séries de potências e raio de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências da forma sumn=0^infty an x^n, o raio de convergência R é o valor tal que a série converge para todo x com |x| < R e diverge para |x| > R. Esse raio pode ser encontrado usando o critério do limite ou a fórmula de Cauchy.

Passo 3

Agora, temos duas séries:
  1. sumn=0^infty cn x^n com raio de convergência R1 = 2.
  2. sumn=0^infty dn x^n com raio de convergência R2 = 3.
Queremos encontrar o raio de convergência da série sumn=0^infty (cn + dn) x^n.

Passo 4

Vamos pensar no que significa somar duas séries de potências. Para que a série resultante sum (cn + dn)x^n convirja em um certo ponto x, ambas as séries originais precisam convergir nesse ponto. Isso porque se uma delas diverge, a soma pode não fazer sentido ou também divergir.

Passo 5

O que isso implica para os raios de convergência? Significa que a série somada só vai convergir onde ambas as séries originais convergem. Ou seja, o raio de convergência da soma será o menor dos raios de convergência das séries originais. No nosso caso, o menor raio é R1 = 2.

Passo 6

Portanto, o raio de convergência da série sum (cn + dn)x^n é igual a 2.

Resposta

Verdadeiro. O raio de convergência da série sumn=0^infty (cn + dn) x^n é R = 2.

Exercícios relacionados