Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o intervalo onde a série de potências sumn=0^infty (-1)^n+1 x^n converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aprender a determinar o intervalo de convergência usando o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos. Ela está na forma geral sumn=0^infty an x^n, onde cada termo an é dado por (-1)^n+1. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa soma infinita dá um resultado finito, ou seja, converge.

Passo 3

Para encontrar esse intervalo, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência ( R) da série. A fórmula do Teste da Razão é:
R = 1limn to infty | an+1an |
Basicamente, vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 4

Vamos calcular | an+1an | usando os termos da nossa série:
an = (-1)^n+1 e an+1 = (-1)^(n+1)+1 = (-1)^n+2
Então,
| an+1an | = | (-1)^n+2(-1)^n+1 | = | (-1)^(n+2)-(n+1) | = | (-1)^1 | = 1

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty 1 = 1
Com isso, o raio de convergência é:
R = 11 = 1

Passo 6

Sabendo o raio de convergência, o intervalo onde a série converge é dado por |x| < R. Então:
|x| < 1 Rightarrow -1 < x < 1

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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