Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o intervalo onde a série de potências converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aprender a determinar o intervalo de convergência usando o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos. Ela está na forma geral , onde cada termo é dado por . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito, ou seja, converge.

Passo 3

Para encontrar esse intervalo, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência ( ) da série. A fórmula do Teste da Razão é:
Basicamente, vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 4

Vamos calcular usando os termos da nossa série:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
Com isso, o raio de convergência é:

Passo 6

Sabendo o raio de convergência, o intervalo onde a série converge é dado por . Então:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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