Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o intervalo onde a série de potências converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aprender a determinar o intervalo de convergência usando o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos. Ela está na forma geral , onde cada termo é dado por . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito, ou seja, converge.
Passo 3
Para encontrar esse intervalo, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência () da série. A fórmula do Teste da Razão é:
Basicamente, vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 4
Vamos calcular usando os termos da nossa série:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
Com isso, o raio de convergência é:
Passo 6
Sabendo o raio de convergência, o intervalo onde a série converge é dado por . Então: