Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
x1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente começa com a fórmula da série geométrica 11-x = sumn=0^infty x^n, que funciona quando |x| < 1. O objetivo aqui é usar essa fórmula para representar a função x1-x^2 como uma série de potências de x. Além disso, a gente precisa descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipular fórmulas matemáticas para encaixar na forma conhecida da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos representar. Temos x1 - x^2. Olha só, isso pode ser reescrito como x multiplicado por algo que se parece com a fórmula da série geométrica que já conhecemos. Vamos fazer isso:
x1 - x^2 = x cdot 11 - x^2
Agora, dá para perceber que 11 - x^2 está na mesma forma da série geométrica 11 - y = sumn=0^infty y^n, onde y = x^2. Isso é super útil porque a gente já sabe como expandir isso em série.

Passo 3

Substituindo y = x^2 na fórmula da série geométrica, temos:
11 - x^2 = sumn=0^infty (x^2)^n = sumn=0^infty x^2n
Agora, voltando à nossa expressão original:
x1 - x^2 = x cdot sumn=0^infty x^2n
Multiplicando o x dentro da soma, ficamos com:
x1 - x^2 = sumn=0^infty x^2n + 1

Passo 4

Então, a série de potências que representa x1 - x^2 é:
x1 - x^2 = sumn=0^infty x^2n + 1 = x + x^3 + x^5 + x^7 + dots
Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica original sumn=0^infty y^n converge quando |y| < 1. No nosso caso, substituímos y por x^2.

Passo 5

Aplicando a condição de convergência:
|x^2| < 1 implies |x| < 1
Então, o raio de convergência é 1. Isso significa que a série converge para todos os valores de x cujo valor absoluto é menor que 1.
Quanto ao intervalo de convergência, como estamos falando de valores de x reais, fica:
-1 < x < 1

Resposta

A série de potências para x1 - x^2 é sumn=0^infty x^2n + 1, com raio de convergência 1 e intervalo de convergência (-1,,1).

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