Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente começa com a fórmula da série geométrica
, que funciona quando
. O objetivo aqui é usar essa fórmula para representar a função
como uma série de potências de
. Além disso, a gente precisa descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipular fórmulas matemáticas para encaixar na forma conhecida da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que queremos representar. Temos
. Olha só, isso pode ser reescrito como
multiplicado por algo que se parece com a fórmula da série geométrica que já conhecemos. Vamos fazer isso:
Agora, dá para perceber que
está na mesma forma da série geométrica
, onde
. Isso é super útil porque a gente já sabe como expandir isso em série.
Passo 3
Substituindo
na fórmula da série geométrica, temos:
Agora, voltando à nossa expressão original:
Multiplicando o
dentro da soma, ficamos com:
Passo 4
Então, a série de potências que representa
é:
Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica original
converge quando
. No nosso caso, substituímos
por
.
Passo 5
Aplicando a condição de convergência:
Então, o raio de convergência é
. Isso significa que a série converge para todos os valores de
cujo valor absoluto é menor que
.
Quanto ao intervalo de convergência, como estamos falando de valores de
reais, fica:
Resposta
A série de potências para
é
, com raio de convergência
e intervalo de convergência
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
b)
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.