Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente começa com a fórmula da série geométrica , que funciona quando . O objetivo aqui é usar essa fórmula para representar a função como uma série de potências de . Além disso, a gente precisa descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipular fórmulas matemáticas para encaixar na forma conhecida da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos representar. Temos . Olha só, isso pode ser reescrito como multiplicado por algo que se parece com a fórmula da série geométrica que já conhecemos. Vamos fazer isso:
Agora, dá para perceber que está na mesma forma da série geométrica , onde . Isso é super útil porque a gente já sabe como expandir isso em série.

Passo 3

Substituindo na fórmula da série geométrica, temos:
Agora, voltando à nossa expressão original:
Multiplicando o dentro da soma, ficamos com:

Passo 4

Então, a série de potências que representa é:
Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica original converge quando . No nosso caso, substituímos por .

Passo 5

Aplicando a condição de convergência:
Então, o raio de convergência é . Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo valor absoluto é menor que .
Quanto ao intervalo de convergência, como estamos falando de valores de reais, fica:

Resposta

A série de potências para é , com raio de convergência e intervalo de convergência .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.