Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa aqui é encontrar a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. Basicamente, isso significa escrever
como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas de
avaliadas em
. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função
em torno de
:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A coisa legal do
é que todas as suas derivadas são iguais a
. Ou seja:
Então, avaliando em
:
Passo 4
Com isso, substituímos na fórmula da série de Taylor:
Isso significa que a expansão de
em torno de
é uma soma infinita onde cada termo envolve
,
e
.
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se tem raio de convergência 2 e
tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de
é
.
Se
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.