Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Basicamente, isso significa escrever como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas de avaliadas em . Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e usar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de :
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A coisa legal do é que todas as suas derivadas são iguais a . Ou seja:
Então, avaliando em :

Passo 4

Com isso, substituímos na fórmula da série de Taylor:
Isso significa que a expansão de em torno de é uma soma infinita onde cada termo envolve , e .

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

Exercícios relacionados

Represente as seguintes funções em séries de potências de :
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se tem raio de convergência 2 e tem raio de convergência 3, então o raio de convergência de é .
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.