Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) f(x) = raiz3(x) em p = 1

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que a função não tem “saltos” ou “interrupções” nesse ponto. Precisamos entender o que é limite e como ele se relaciona com a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida.
Calculando :
Então, está definida e vale 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de 1.
Como a função raiz cúbica é contínua em todos os pontos dos números reais, podemos simplesmente substituir por 1:

Passo 5

Por fim, comparamos o limite encontrado com :
Como as duas quantidades são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

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