Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
b)
em
b)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que a função não tem “saltos” ou “interrupções” nesse ponto. Precisamos entender o que é limite e como ele se relaciona com a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
está definida.
Calculando :
Calculando
Então,
está definida e vale 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de 1.
Como a função raiz cúbica é contínua em todos os pontos dos números reais, podemos simplesmente substituir
por 1:
Passo 5
Por fim, comparamos o limite encontrado com
:
Como as duas quantidades são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
Portanto, a função
é contínua no ponto
.