Determine a área da região , onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região que está delimitada pelas parábolas e . Para isso, vamos precisar saber onde essas parábolas se encontram e depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as duas parábolas se cruzam. Igualamos as duas equações de :
Resolvendo para :
Agora, substituímos em uma das equações para achar :
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Observando as equações das parábolas, vemos que elas são simétricas em relação ao eixo . Assim, podemos calcular a área acima do eixo e depois multiplicar por 2 para obter a área total.
Para :
Da parábola , temos .
Da parábola , temos .
Os limites para vão de 0 a 2, já que os pontos de interseção são .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área será a integral da diferença entre da parábola à direita e da parábola à esquerda, de a :
O 2 na frente da integral é para considerar a simetria em relação ao eixo .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a :

Resposta

A área da região é unidades de área.

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