Determine a área da região , onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região que está delimitada pelas parábolas e . Para isso, vamos precisar saber onde essas parábolas se encontram e depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as duas parábolas se cruzam. Igualamos as duas equações de :
Resolvendo para :
Agora, substituímos em uma das equações para achar :
Então, as parábolas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Observando as equações das parábolas, vemos que elas são simétricas em relação ao eixo . Assim, podemos calcular a área acima do eixo e depois multiplicar por 2 para obter a área total.
Para :
Da parábola , temos .
Da parábola , temos .
Os limites para vão de 0 a 2, já que os pontos de interseção são .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área será a integral da diferença entre da parábola à direita e da parábola à esquerda, de a :
O 2 na frente da integral é para considerar a simetria em relação ao eixo .