Determine a área da região
, onde:
c) R é a região limitada pelas parábolas
e
.
c) R é a região limitada pelas parábolas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região
que está delimitada pelas parábolas
e
. Para isso, vamos precisar saber onde essas parábolas se encontram e depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as duas parábolas se cruzam. Igualamos as duas equações de
:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
em uma das equações para achar
:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Observando as equações das parábolas, vemos que elas são simétricas em relação ao eixo
. Assim, podemos calcular a área acima do eixo
e depois multiplicar por 2 para obter a área total.
Para
:
Da parábola
, temos
.
Da parábola
, temos
.
Os limites para
vão de 0 a 2, já que os pontos de interseção são
.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área
será a integral da diferença entre
da parábola à direita e
da parábola à esquerda, de
a
:
O 2 na frente da integral é para considerar a simetria em relação ao eixo
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.