Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condição inicial. A equação que temos é:
Aqui, é a função delta de Dirac, que atua como uma força impulsiva em . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois considerar o efeito do impulso causado pela função delta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo da função delta:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica, que é formada substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o efeito da função delta . A função delta age como uma força que ocorre exatamente em . Para lidar com isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace, que é uma ótima ferramenta para resolver equações diferenciais com termos impulsivos.
A transformada de Laplace da equação inteira fica:
Substituindo os valores iniciais e :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, fazemos a transformada inversa para encontrar . A parte corresponde à parte homogênea que já resolvemos. A parte representa a resposta ao impulso da função delta.
Calculando a transformada inversa, obtemos:
Aqui, é a função de Heaviside, que “liga” o segundo termo a partir de .

Resposta

A solução do problema é:

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