Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado abaixo por um plano e acima por uma esfera definida por , onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas esféricas e montar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (distância da origem), (ângulo com o eixo z) e (ângulo no plano xy). As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos traduzir as equações que delimitam o sólido para coordenadas esféricas.
A esfera pode ser reescrita como , ou seja, . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em , pois a esfera tem raio 1.
O plano em coordenadas esféricas fica , ou seja, .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para , e .
varia de a , pois estamos cobrindo toda a volta no plano xy.
varia de até o ângulo onde o plano intercepta a esfera . Para encontrar esse ângulo, usamos , então e .
varia de até , pois o sólido está entre o plano e a esfera.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos integrar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos separar as integrais:
Passo 8
Primeiro, integramos o primeiro termo:
Passo 9
Agora, vamos integrar o segundo termo. Observamos que . Vamos fazer uma substituição: , então .
A integral fica:
Aplicando os limites:
Passo 10
Voltando à integral original:
No entanto, percebemos que houve um erro na substituição. Corrigindo, a expressão correta após a substituição deve levar a: