Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo plano z = k e acima pela esfera z = raiz(1 - x^2 - y^2) . (0 < k < 1) Resp.: pi * (2 - 3k + k^3) / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado abaixo por um plano e acima por uma esfera definida por , onde . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas esféricas e montar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (distância da origem), (ângulo com o eixo z) e (ângulo no plano xy). As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos traduzir as equações que delimitam o sólido para coordenadas esféricas.
A esfera pode ser reescrita como , ou seja, . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em , pois a esfera tem raio 1.
O plano em coordenadas esféricas fica , ou seja, .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e .
  • varia de a , pois estamos cobrindo toda a volta no plano xy.
  • varia de até o ângulo onde o plano intercepta a esfera . Para encontrar esse ângulo, usamos , então e .
  • varia de até , pois o sólido está entre o plano e a esfera.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos integrar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos separar as integrais:

Passo 8

Primeiro, integramos o primeiro termo:

Passo 9

Agora, vamos integrar o segundo termo. Observamos que . Vamos fazer uma substituição: , então .
A integral fica:
Aplicando os limites:

Passo 10

Voltando à integral original:
No entanto, percebemos que houve um erro na substituição. Corrigindo, a expressão correta após a substituição deve levar a:
Então, substituindo de volta:

Passo 11

Somando os dois termos:

Resposta

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